Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

198 DANIELE ANDREUCCIPer esempio consideriamo per α ∈ R fissatoAllora se α ̸= 1, α > 0,∫ 10(1)min k,x α dx =Nello stesso modo∫ 1f(x) = 1 x α , x ∈ E = (0,1).k∫−1/α0∫k −1kdx+∫ 1k −1/α∫ 1dxx α= k1− 1 α +1−k 1− 1 α1−α .(min k, 1 )dxdx = kdx+x x = 1−ln 1 k = 1+lnk.00 k −1Perciò (il caso α ≤ 0 si riduce all’integrale di una funzione continua), perk → ∞ si ha∫ 10{dx 1x α = 1−α , α < 1,+∞, α ≥ 1.Esempio A.12. Il caso N > 1. I risultati sopra si estendono subito al casodi R N , N > 1, usando la formula di cambiamento di variabili∫r 1 N. (A.15)|x| αOsservazione A.13. Quanto detto sopra si può estendere a funzioni complessef : R N → C, considerando ciascuna delle funzioni reali Re f e Im f;si pone poi∫ ∫ ∫f(x)dx := Re f(x)dx+i Im f(x)dx,Ese entrambe Re f e Im f sono integrabili in E.Altri risultati importanti sono:ELemma A.14. Se f è integrabile su R, esistono due successioni c + n → ∞, c − n →−∞, tali chelimn→∞ f(c+ n ) = 0, lim f(c − n→∞n ) = 0. (A.16)E□□□