Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

Supponiamo dunque che5.3. SVILUPPI IN SERIE DI AUTOFUNZIONI 49u(x,t) =∞∑ α n (t)ϕ n (x), (5.15)n=1siaunasoluzionediquestotipo,ovele ϕ n sonoautofunzionidell’opportunoproblema per l’equazione di Laplace. Procedendo formalmente, ossiaassumendo che lo scambio di serie e integrale sia valido, si ha∫Ωu(x,t)ϕ m (x)dx =∞∑n=1∫α n (t)Ωϕ n (x)ϕ m (x)dx∫= α m (t)Ωϕ m (x) 2 dx = α m (t), (5.16)ove si è usata l’ipotesi (5.14), e si è anche assunto che∫ϕ n (x)ϕ m (x)dx = 0, n ̸= m, (5.17)Ωipotesi non irragionevole: il Teorema 5.8 anzi dimostra la (5.17) se le dueautofunzioni corrispondono ad autovalori diversi.Daquestocalcoloabbiamo imparatocheilcoefficiente α m coincide,amenodiunfattorecostante,conilprimointegralein(5.16); l’ipotesi(5.17)èstatacruciale.Cerchiamo di applicare questo tipo di approccio a problemi più generali.Consideriamo per definitezza il problema per l’equazione del calore condati di Dirichlet, e con una funzione sorgente F non nulla, ossiau t −D ∆u = F(x,t), x ∈ Ω,0 < t < T, (5.18)D ∂u (x,t) = 0,∂νx ∈ ∂Ω,0 < t < T, (5.19)u(x,0) = u 0 (x), x ∈ Ω. (5.20)Cerchiamo quindi di sviluppare la soluzione u in serie come in (5.15),ove le funzioni ϕ n sono autofunzioni del laplaciano, mentre i coefficientiα n sono da determinare. Non è affatto evidente in questa fase che siapossibile farlo, per la presenza del termine non omogeneo di sorgente.Definiamo intanto, per comodità di notazione, le seguenti funzioni, chesono note una volta assegnati i dati:∫F n (t) = F(x,t)ϕ n (x)dx.ΩPoi ricordiamo che la (5.16) è conseguenza diretta della (5.15), e dunquedeve valere anche in questo caso, per qualunque possibile scelta dellefunzioni α n .Cerchiamo pertanto di ottenere informazioni sul primo integrale nella(5.16); queste non possono che venire dalle (5.18)–(5.20). Moltiplichiamo