Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

B.2. COORDINATE SFERICHE 205B.2. Coordinate sfericheLe coordinate sferiche in R 3 sono definite da⎧⎪⎨ x = rcos ϕsin θ,y = rsin ϕsin θ, 0 ≤ r < ∞, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π.⎪⎩z = rcos θ;Si calcola subito lo iacobiano del cambiamento di coordinateJ(r, ϕ, θ) = r 2 sin θ.Consideriamo poi la terna ortonormale associata alle coordinate sferiche⎧⎪⎨ u 1 = cos ϕsin θe 1 +sin ϕsin θe 2 +cos θe 3 , versore radiale;u 2 = −sin ϕe 1 +cos ϕe 2 , versore tangenziale;⎪⎩u 3 = cos ϕcos θe 1 +sin ϕcos θe 2 −sin θe 3 , versore meridiano.(B.7)B.2.1. Gradienteincoordinatesferiche. Vogliamoscomporreilgradientediunafunzione f secondolaternau i . Invecediprocedereusandolaregoladiderivazionedifunzionicomposte,usiamolaproprietàdelgradiente∇f∫f(P 1 )− f(P 2 ) = ∇f · τds, (B.8)ove la curva C congiunge P 2 a P 1 , e τ ne è il versore tangente.Scegliamo prima, per calcolare la componente di ∇f lungo u 1 , C come unsegmento di raggioC(s) = ((r+s)cos ϕsin θ,(r+s)sin ϕsin θ,(r+s)cos θ), 0 ≤ s ≤ h.Dunque, usando il simbolo f(r, ϕ, θ) per denotare la dipendenza dallecoordinate sferiche,f(r+h, ϕ, θ)− f(r, ϕ, θ) =∫ h0C∇f(r+s, ϕ, θ)·u 1 (ϕ, θ)ds.Dividendo per h e prendendo il limite per h → 0 si ottiene∇f ·u 1 = ∂f∂r .Prendiamo poi C come un arco di parallelo, ossiaC(ω) = (rcos(ϕ+ω)sin θ,rsin(ϕ+ω)sin θ,rcos θ), 0 ≤ ω ≤ h.In questo modo il vettore tangente a C è proprio rsin θu 2 . Allora∫ hf(r, ϕ+h, θ)− f(r, ϕ, θ) = rsin θ0∇f(r, ϕ+ω, θ)·u 2 (ϕ+ω, θ)dω.Dividendo per h e prendendo il limite per h → 0 si ottiene∇f ·u 2 = 1 ∂frsin θ ∂ϕ .•