Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

18 DANIELE ANDREUCCINel caso dei problemi posti per le equazioni di evoluzione, diciamo in unintervallo temporale (0,T), è chiaro che il valore della soluzione (e dellesue derivate) al tempo finale T risulta determinato dai dati prescritti per itempi precedenti t < T. Quindi non appare necessario, dal punto di vistadell’intuizione modellistica, prescrivere dati sulla parte della frontiera deldominio che giace su t = T; anzi appare impossibile. Questa considerazioneintuitiva è infatti confermata dall’analisi matematica deiproblemi inquestione.È infine possibile prescrivere il valore dell’incognita su una parte dellafrontiera del dominio, e invece il valore della derivata normale sulla parterimanente. Si hanno in questo caso problemi con condizioni miste.Osservazione 2.1. (Significato modellistico delle condizioni al contorno)Le condizioni del tipo di Dirichlet sono di immediata interpretazione,conseguenteal significato dell’incognita u. Peresempioin problemidi diffusione del calore, ove in genere u rappresenta una temperatura, lacondizione di Dirichlet si assegna quando la frontiera del dominio vienemantenuta a una temperatura nota.Le condizioni del tipo di Neumann possono avere il significato di condizionidi flusso: sempre nel caso dell’equazione del calore, è infatti notoche il flusso di calore nel corpo è dato da−D∇u,almeno secondo la legge di Fourier. Oppure, nel caso dell’equazione delleonde, questecondizioni sono legate a vincoli di tipo meccanico (corda conestremo libero).□Osservazione 2.2. (Interpretazione matematica delle condizioni alcontorno) Nel seguito scriveremo formalmente condizioni del tipo (2.5),o (2.13), o ancora (2.16). Se le funzioni coinvolte in queste uguaglianzesono tutte continue (fino sul contorno compreso), il significato di talicondizioni è chiaro; tuttavia la teoria matematica permette di considerareanche casi in cui i dati non siano continui. Si noti che in effetti le applicazioniconducono a trattare anche problemi con dati irregolari; peresempio spesso le ‘condizioni di compatibilità’ non sono soddisfatte (vediSezione 2.7).□2.2. Problemi al contorno per l’equazione di Laplace2.2.1. Problema di Dirichlet per l’equazione di Laplace. Il problema diDirichlet in un aperto limitato Ω ⊂ R N con frontiera regolare è:PD L : Assegnata u 0 : ∂Ω → R, determinare u ∈ C 2 (Ω) tale che∆u = 0, in Ω, (2.4)u = u 0 , su ∂Ω. (2.5)Questo problema ha un’unica soluzione sotto ipotesi ragionevoli sul datoal contorno (vedi Teorema 6.12, e Teorema 4.5).•