Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

36 DANIELE ANDREUCCIDimostrazione. Definiamo il sottoinsieme di ΩA = {x ∈ Ω | u(x) = M},M := maxu.ΩSe A = ∅, allora u assume il suo massimo solo su ∂Ω, e quindi la (4.2)è dimostrata con il segno stretto di disuguaglianza. Noi mostreremo chese A ̸= ∅, allora A = Ω, e quindi u è costante su Ω, completando così ladimostrazione del Teorema.Sia dunque ¯x ∈ A, e ȳ un altro arbitrario punto di Ω. Dobbiamo solodimostrare che anche ȳ ∈ A, cioè che u(ȳ) = M. Poiché Ω è un apertoconnesso, esiste una curva γ ⊂ Ω di estremi ¯x e ȳ. Definiamoρ = 1 dist(γ, ∂Ω) > 0;2allora è facile vedere che γ è contenuta nell’unione di un numero finitodi sfere B ρ (x i ) con x i ∈ γ, i = 1, ..., n, e tali che |x i − x i+1 | < ρ. Si puòsupporre che x 1 = ¯x.Dimostriamo ora che se u(z) = M, z ∈ Ω, allora u ≡ M in tutta la sferaB ρ (z) ⊂ Ω. Scegliamo un qualunque 0 < r < ρ. Si ha, visto che u èsubarmonica, per il Corollario 1.7,∫∫110 ≥ u(z)−σ N r N−1 u(x)dσ x =σ N r N−1 [u(z)−u(x)]dσ x∂B r (z)=∂B r (z)∫1σ N r N−1∂B r (z)[M−u(x)]dσ x ≥ 0.L’ultima disuguaglianza segue dalla definizione di M. Perciò l’integralesi annulla e, essendo l’integrando non negativo, si deve avere u ≡ M su∂B r (z). Per l’arbitrarietà di r segue in effetti u ≡ M in B ρ (z).Applicando questo risultato, si ha: u ≡ M su B ρ (¯x), perché ¯x ∈ A peripotesi. Poiché x 2 ∈ B ρ (¯x), segue che u(x 2 ) = M. Nello stesso modoallora, u ≡ M su B ρ (x 2 ), e quindi u(x 3 ) = M, e così via. Si dimostra cosìche u ≡ M su γ, e quindi che u(ȳ) = M, concludendo che ȳ ∈ A. □Corollario 4.3. Principio di minimo forte. Sia u ∈ C(Ω) superarmonicain Ω. Allora per ogni x ∈ Ωu(x) ≥ minu. (4.3)∂ΩSe poi esiste un x ∈ Ω tale che in (4.3) valga l’uguaglianza, u è costante su Ω.Dimostrazione. Basta osservare che, se u è superarmonica, allora −u èsubarmonica, e quindi applicare il Teorema 4.2 a −u. □Corollario 4.4. Sia u ∈ C(Ω) armonica in Ω. Allora per ogni x ∈ Ωmin∂Ωu ≤ u(x) ≤ maxu. (4.4)∂ΩSe poi esiste un x ∈ Ω tale che in una delle due relazioni di (4.4) valga l’uguaglianza,u è costante su Ω.In particolare queste conclusioni si applicano a soluzioni u ∈ C 2 (Ω))∩C(Ω) di∆u = 0.