Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

20 DANIELE ANDREUCCI2.3.2. Problema di Neumann per l’equazione del calore. Il problema diNeumann per l’equazione del calore nel cilindro Q T = Ω×(0,T), èPN C : Assegnate u 0 : Ω → R, f : ∂Ω ×(0,T) → R determinare u ∈C 2,1 (Q ∗ T ), tale che u t −D ∆u = 0, in Q T , (2.11)u(x,0) = u 0 (x), x ∈ Ω, (2.12)D∇u(x,t)·ν = f(x,t), su ∂Ω×(0,T). (2.13)Osservazione 2.5. Il problema di Neumann per l’equazione del calore hauna soluzione unica, a differenza del problema di Neumann per l’equazionedi Laplace (vedi Teorema 6.6). Questo è dovuto all’imposizione deldato iniziale, che proibisce la ‘traslazione’ per costanti additive arbitrarie,possibile invece nel caso dell’equazione di Laplace. □2.4. Problemi ai valori iniziali e al contorno per l’equazione delle ondeNel caso dell’equazione delle onde, che contiene la derivata temporaledel secondo ordine dell’incognita, vanno prescrittidue dati iniziali, ossia ivalori dell’incognita, e della sua derivata temporale prima.2.4.1. Problema di Dirichlet per l’equazione delle onde. Il problema diDirichlet per l’equazione delle onde, posto nel cilindro Q T = Ω×(0,T) è:PD O : Assegnate u 0 , u 1 : Ω → R, f : ∂Ω × (0,T) → R determinareu ∈ C 2 (Q T ), tale cheu tt −c 2 ∆u = 0, in Q T , (2.14)u(x,0) = u 0 (x), x ∈ Ω, (2.15)u t (x,0) = u 1 (x), x ∈ Ω, (2.16)u(x,t) = f(x,t), su ∂Ω×(0,T), (2.17)Questo problema ha un’unica soluzione sotto ipotesi ragionevoli sui datial contorno e iniziali (vedi Teorema 6.4).•2.4.2. Problema di Neumann per l’equazione delle onde. Il problema diNeumann per l’equazione delle onde, posto nel cilindro Q T = Ω×(0,T)è:PN O : Assegnate u 0 , u 1 : Ω → R, f : ∂Ω × (0,T) → R determinareu ∈ C 2 (Q T ), tale cheu tt −c 2 ∆u = 0, in Q T , (2.18)u(x,0) = u 0 (x), x ∈ Ω, (2.19)u t (x,0) = u 1 (x), x ∈ Ω, (2.20)∂u(x,t) = f(x,t), su ∂Ω×(0,T). (2.21)∂ν•