Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

4.4. APPLICAZIONI ALL’EQUAZIONE DEL CALORE 394.4. Applicazioni al problema di Dirichlet per l’equazione del caloreVale il teoremaTeorema 4.12. Se u 0 ∈ C(∂ p Q T ), esiste un’unica soluzione di PD C .L’unicità si dimostra in modo simile al Teorema 4.5, oppure segue dalTeorema 4.14.Osservazione4.13. Seildatou 0 nonècontinuosu ∂ p Q T , masolocontinuoa tratti, esiste ancora una soluzione u ∈ C 2,1 (Q ∗ T ) di PD C, unica nellaclasse delle soluzioni limitate su Q T . Per queste soluzioni vale ancora ilprincipio del massimo, nella forma u ≤ sup ∂p Q Tu 0 in Q T . □4.4.1. Dipendenza continua dai dati.Teorema 4.14. Siano u 1 e u 2 due soluzioni di PD C , corrispondenti a due datiu 01 , u 02 ∈ C(∂ p Q T ). AlloramaxQ T|u 1 −u 2 | ≤ max∂ p Q T|u 01 −u 02 |. (4.11)Dimostrazione. Segue subito dal Teorema 4.8 (principio di massimo).□4.4.2. Stime di soluzioni mediante il metodo delle soprasoluzioni. Volendootteneremaggiorazionidiu(x,t),quandolasoluzionenonpuòesserecalcolata in modo esplicito, si può fare uso del principio del confronto:sev t −D ∆v ≥ 0, in Q ∗ T, (4.12)v(x,t) ≥ u 0 (x,t), su ∂ p Q T , (4.13)allora v ≥ u in Q T (questo segue da una semplice applicazione del principiodel massimo a v−u). Per questo funzioni v ∈ C 2,1 (Q ∗ T )∩C(Q T) chesoddisfino le relazioni qui sopra si dicono soprasoluzioni di PD C .È pertanto utile disporre di un certo numero di soluzioni esplicite di (2.9).Per esempiov(x,t) = e −α2 Dt sin(αx), v(x,t) = e −α2 Dt cos(αx), α ∈ R,v(x,t) = 1, v(x,t) = x, v(x,t) = x 2 +2Dt,elelorocombinazionilinearisonotuttesoluzioni. VediancheilCapitolo3.Esempio 4.15. Consideriamo il caso in cui Ω = (0, π),u 0 (x,t) = 1−2x∣1− π ∣ , 0 ≤ x ≤ π,t = 0,u 0 (x,t) = 0, x ∈ {0, π},t > 0.Dato che v = e −Dt sinx soddisfa (4.12), (4.13), si ottiene0 ≤ u(x,t) ≤ e −Dt sinx, 0 < x < π,0 < t.•□