Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

108 DANIELE ANDREUCCIConsideriamo i due problemi⎧u tt −c 2 u xx = 0, x > 0,t > 0,⎪⎨u(x,0) = u 0 (x), x > 0,PNu t (x,0) = u 1 (x), x > 0,⎪⎩u x (0,t) = 0, t > 0.⎧u tt −c 2 u xx = 0, x > 0,t > 0,⎪⎨u(x,0) = uPD 0 (x), x > 0,u t (x,0) = u 1 (x), x > 0,⎪⎩u(0,t) = 0, t > 0.Risultano allora vere le seguenti affermazioni:a) Siano u 0 ∈ C 1( [0, ∞) ) , e u 1 ∈ C 0( [0, ∞) ) . Continuiamo a denotare conu 0 , u 1 le estensioni pari dei dati su tutto R. Allora la soluzione deboledata da (10.4), corrispondente a questi dati estesi, soddisfa al condizioneal bordo di PN, ossia u x (0,t) = 0.b) Siano u 0 , u 1 : (0, ∞) → R, e sia u 1 integrabile sugli intervalli limitati di(0, ∞). Continuiamo a denotare con u 0 , u 1 le estensioni dispari dei dati sututto R. Allora la soluzione debole data da (10.4) soddisfa la condizioneal bordo di PD, ossia u(0,t) = 0.Possiamo dunque definire come soluzione debole di PN (rispettivamentedi PD) la u data dalla formula di D’Alembert per i dati iniziali ottenutiriflettendo in modo pari (rispettivamente in modo dispari) i dati assegnatiper x > 0, a prescindere dalle richieste di regolarità aggiunte in a) sopra.•10.6.2. Problemi in un intervallo limitato. Alcuni problemi ai valori alcontorno in un intervallo (a,b) possono essere ricondotti al problema diCauchy con tecniche di riflessione simili a quelle viste sopra. Quindipossono essere risolti con la formula di D’Alembert.Esempio 10.24. Consideriamo il problemau tt −c 2 u xx = 0, 0 < x < π,t > 0,u(x,0) = sinx, 0 < x < π,u t (x,0) = cosx, 0 < x < π,u(0,t) = 0, t > 0,u x (π,t) = 0, t > 0.In questo caso la riflessione dovrà essere dispari intorno a x = 0 e pariintorno a x = π. Per il Lemma C.10, i dati estesi dovranno essere{|sinx|, 0 < x < 2π,u 0 (x) =−|sinx|, −2π < x < 0;{cosx, 0 < x < 2π,u 1 (x) =−cosx, −2π < x < 0,ove poi sia inteso che u 0 e u 1 sono periodici con periodo 4π su R.□