Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

2.6. DIPENDENZA CONTINUA DAI DATI. 21Vale per il problema PN O un’osservazione simile all’Osservazione 2.5. Inparticolare, questo problema ha un’unica soluzione sotto ipotesi ragionevolisui dati al contorno e iniziali (vedi Teorema 6.4). •2.5. Il problema di Cauchy in tutto lo spazioUn caso particolare diproblemapostoin un dominio illimitato sihaquandoil dominio è tutto lo spazio. Soprattutto quando l’equazione è di tipoevolutivo (delle onde o del calore) il problema si dice allora problema diCauchy.2.5.1. Problema di Cauchy per l’equazione del calore.PC C : Assegnata u 0 : R N → R determinare u ∈ C 2,1 (R N ×(0,T]) tale cheu t −D ∆u = 0, in R N ×(0,T), (2.22)u(x,0) = u 0 (x), x ∈ R N . (2.23)Per assicurare l’unicità della soluzione, occorre imporre qualche restrizionesul comportamento per |x| → ∞ della medesima, per esempio che simantenga limitata.•2.5.2. Problema di Cauchy per l’equazione delle onde.PC O : Assegnate u 0 , u 1 : R N → R determinare u ∈ C 2 (R N ×(0,T)), talecheu tt −c 2 ∆u = 0, in R N ×(0,T), (2.24)u(x,0) = u 0 (x), x ∈ R N , (2.25)u t (x,0) = u 1 (x), x ∈ R N . (2.26)In questo caso non occorrono particolari restrizioni per ottenere unicità disoluzioni.•2.6. Dipendenza continua dai dati.Un problema per e.d.p. che debba essere utilizzato come modello matematiconelle applicazioni dovrebbe essere ben posto nel senso di Hadamard.Questo significa che le soluzioni del problema devono esistere (quandoi dati sono scelti in modo ragionevole), e che esse devono dipendere concontinuità dai dati stessi. La dipendenza continua dai dati in sostanzaequivale alla richiesta che le soluzioni corrispondenti a dati simili sianoa loro volta simili tra di loro. Un modo più formale di esprimere questoconcetto, se dist sol indica una opportuna ‘distanza’ tra soluzioni, e dist datiuna ‘distanza’ tra dati, è:dist sol (u,ū) ≤ Cdist dati (d, d), ¯ (2.27)ove u [ū]èla soluzionecorrispondentealdato d [ d], ¯ e C > 0èunacostanteindipendente dai dati. Si noti che la (2.27), e in genere la dipendenzacontinua, implicano l’unicità della soluzione (assegnato il dato).La buona posizione di un modello matematico garantisce, tra l’altro, chegli inevitabili errori di misura che si compiono nel determinare i dati siriflettano in modo controllabile sulla soluzione.