Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

20.2. IL TEOREMA DEL TRASPORTO 189Dimostrazione. Si ha (sottintendendo che tutte le funzioni dipendonodall’argomento (ξ,t))⎛1 ∂JJ ∂t = 1 ∂detDJ ∂t= 1 JN∑i=1⎞D 1∗...det∂D i∗⎜ ∂t ⎟⎝ ... ⎠ ,D N∗secondo l’usuale regola di derivazione per righe dei determinanti. Sviluppandociascuno degli N determinantirispetto alla riga che è stata derivatasi ottiene1 ∂JJ ∂t = 1 JN∑i=1N∑j=1(−1) i+j ∂d ijdetD ij =∂tN∑i,j=1∂ 2 X i(−1) i+jdetDij ,∂t∂ξ jJdove si è usata la definizione degli elementi d ij . Ricordando poi la regolaper calcolare gli elementi della matrice inversa D −1 = (d ′ hk), e poi ladefinizione di questi ultimi, si ottieneN1 ∂JJ ∂t = ∑i,j=1∂ 2 X i∂t∂ξ jd ′ ji = N∑i,j=1∂ 2 X i∂t∂ξ j∂Ξ j∂x i(X(ξ,t),t). (20.11)Vista la biunivocità della trasformazione X, la (20.11) è equivalente a[ 1J∂J](Ξ(x,t),t) =∂t=N∑i,j=1N∑i=1= div∂ 2 X i∂t∂ξ j(Ξ(x,t),t) ∂Ξ j∂x i(x,t)ove l’operatore div agisce nelle variabili x.) ( ∂X)(x,t) = div∂t (Ξ(x,t),t)∂( ∂Xei∂x i∂t( ∂Xe )∂t (x,t) = divv(x,t),□Teorema20.2. (Teorema del trasporto)Sia F ∈ C 1 (R N ×R). Allora, sottole stesse ipotesi del Lemma 20.1, per ogni Ω(t) come sopra,ddt∫Ω(t)F(x,t)dx =∫Ω(t)∫∂F∂t (x,t)dx+∂Ω(t)F(x,t)v(x,t)· νdσ x . (20.12)Dimostrazione. Usiamo la formula di cambiamento di variabiliddt∫Ω(t)∫=F(x,t)dx = d ∫F(X(ξ,t),t)J(ξ,t)dξdtΩ 0Ω 0∂∂t[ ]∫F(X(ξ,t),t) J(ξ,t)dξ + F(X(ξ,t),t) ∂ J(ξ,t)dξ. (20.13)∂tΩ 0