Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

46 DANIELE ANDREUCCICerchiamo le soluzioni nella forma a variabili separabili (5.3), cosicché,sostituendo nella (5.6) e supponendo XT ̸= 0, si ottiene, per una costanteλ ∈ R opportuna,∆X(x)= T′′ (t)X(x) c 2 = −λ ∈ R,T(t)ove l’ultima uguaglianza è dovuta al fatto che il valore comune di ∆X/Xe T ′ /c 2 T non può dipendere né da t né da x.Quindi, supponendoche λ > 0(vediTeorema5.7perquestaipotesi),lesoluzionia variabili separabili dell’equazione delle onde hanno di necessitàla forma (5.3), conT(t) = T(0)cos(c √ λt)+ T′ (0)c √ λ sin(c√ λt), t ≥ 0, (5.7)e X tale che valga (5.5). La costante λ deve essere la stessa in (5.7) e in(5.5). •Osservazione 5.1. Una funzione nella forma (5.3), (5.4), (5.5) risolve l’equazionedel calore (5.2) anche se si annulla in qualche punto di Q T ; questosegue dal calcolo diretto. Dunque l’ipotesi XT ̸= 0 che pure era statastipulata non è in realtà necessaria.Nello stesso modo, una funzione nella forma (5.3), (5.7), (5.5) risolve l’equazionedelle onde (5.6) anche se si annulla in qualche punto di Q T . □Osservazione5.2. UnavoltacheXèfissata,ivaloriinizialidiudipendonosolo da T(0), e da T ′ (0) nel caso dell’equazione delle onde. A sua voltaX dipende da λ, e dalle condizioni al contorno che vengono prescritte su∂Ω×(0,T). Non è affatto detto che una soluzione X di (5.5) esista perogni scelta di λ e delle condizioni al contorno.□Esercizio 5.3. Si determini per separazione delle variabili la soluzione delproblemaRispostau tt −c 2 u xx = 0, 0 < x < π,t > 0,u(0,t) = 0, t > 0,u(π,t) = 0, t > 0,u(x,0) = 0, 0 < x < π,u t (x,0) = sin(3x), 0 < x < π.Esercizio 5.4. Si determini per separazione delle variabili la soluzione delproblemaQuiRispostau t −D ∆u = 0, x ∈ Ω,t > 0,u(x,t) = 0, x ∈ ∂Ω,t > 0,u(x,0) = sin(x 1 )sin(2x 2 ), x ∈ Ω.Ω = {(x 1 ,x 2 ) | 0 < x 1 < π,0 < x 2 < π}.□□