Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

38 DANIELE ANDREUCCIsono soluzioni in R 2 privato di una semiretta per l’origine. Vedi anche ilCapitolo 3.•4.3. Principio di massimo per l’equazione del caloreTeorema 4.8. Sia u ∈ C 2,1 (Q ∗ T )∩C(Q T) tale cheu t −D ∆u ≤ 0, in Q ∗ T .AlloraDimostrazione. SiamaxQ Tu = max∂ p Q Tu. (4.8)v(x,t) = u(x,t)+εx 2 1 ,con ε > 0 arbitrario. Qui x 1 denota la prima coordinata. Se v avesse unpunto di massimo (¯x,¯t) in Q ∗ Tsi avrebbe∆v(¯x,¯t) ≤ 0, v t (¯x,¯t) = u t (¯x,¯t) ≥ 0,il che condurrebbe alla contraddizione (nel punto (¯x,¯t))0 ≤ v t −D ∆v = u t −D ∆u−2Dε ≤ −2Dε < 0.Quindi v non può assumere punti di massimo in Q ∗ T , ossiamaxQ Tu ≤ maxQ Tv = max∂ p Q Tv ≤ max∂ p Q Tu+εξ 2 ,se ξ = max ∂Ω |x 1 |. Per ε → 0 si ottiene la (4.1).□I seguenti corollari sono di derivazione immediata.Corollario 4.9. Sia u ∈ C 2,1 (Q ∗ T )∩C(Q T) tale che u t − D ∆u ≥ 0 in Q ∗ T .AlloraminQ Tu ≥ min∂ p Q Tu. (4.9)Corollario 4.10. Sia u ∈ C 2,1 (Q ∗ T )∩C(Q T) tale che u t − D ∆u = 0 in Q ∗ T .Alloramin∂ p Q Tu ≤ u(x,t) ≤ max∂ p Q Tu, per ogni (x,t) ∈ Q ∗ T . (4.10)Osservazione 4.11. In realtà vale anche per l’equazione del calore il principiodel massimo forte, nel senso che se, per u come in Corollario 4.10,esiste un (¯x,¯t) ∈ Q ∗ Ttale che in esso una delle disuguaglianze in (4.10)vale come uguaglianza, allora u è costantein Q¯t. Ladimostrazione diquestoteorema, che è più difficile di quella del corrispettivo Teorema 4.2 perl’equazione di Laplace, viene omessa.□