Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

88 DANIELE ANDREUCCIPerciò i ‘termini noti’ delle ipotetiche equazioni differenziali (9.23) nonsonodatidaicoefficientidialcunafunzioneinalcun sviluppoortonormale(perché non tendono a zero).9.4. L’equazione di Laplace in coordinate polari9.4.1. Problemiin coronecircolari. Consideriamoil problemapostonellacorona circolare di raggi r 1 > r 0 > 0√∆u = f(x,y), r 0 < x 2 +y 2 < r 1 , (9.24)√u(x,y) = u 0 (x,y), x 2 +y 2 = r 0 , (9.25)√u(x,y) = u 1 (x,y), x 2 +y 2 = r 1 , (9.26)che, in coordinate polari, diventav rr + 1 r v r + 1 r 2v ϕϕ = g(r, ϕ), r 0 < r < r 1 ,−π < ϕ < π, (9.27)v(r 0 , ϕ) = v 0 (ϕ), − π < ϕ < π, (9.28)v(r 1 , ϕ) = v 1 (ϕ), − π < ϕ < π, (9.29)ove si sono definitev(r, ϕ) = u(rcos ϕ,rsin ϕ),v 0 (ϕ) = u 0 (r 0 cos ϕ,r 0 sin ϕ),g(r, ϕ) = f(rcos ϕ,rsin ϕ),v 1 (ϕ) = u 1 (r 1 cos ϕ,r 1 sin ϕ).Vanno anche imposte le condizioni di periodicità (3.3)–(3.5).Cerchiamo la soluzione nella formav(r, ϕ) = α 0 (r)+∞∑n=1Procedendo come sopra, si ha che α 0 soddisfaα 0 ′′ + 1 r α′ 0 = 12πα 0 (r 0 ) = 12πα 0 (r 1 ) = 12πα n (r)cos(nϕ)+ β n (r)sin(nϕ). (9.30)∫ π−π∫ π−π∫ π−πg(r, θ)dθ,v 0 (θ)dθ,v 1 (θ)dθ;