Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

CAPITOLO 10L’equazione delle ondeL’equazione delle onde ammette formule di rappresentazionedelle soluzioni che possono essere derivate con procedureabbastanza semplici.In particolare i calcoli sono elementari in dimensione N = 1.Queste formule suggeriscono anche l’estensione del concetto disoluzione, fino a includere funzioni non derivabili o addiritturanon continue.10.1. Il problema ai valori iniziali per la corda infinitaConsideriamo il problema di Cauchy, o ai valori iniziali, in Q ∞ = R×(0, ∞)u tt −c 2 u xx = 0, in Q ∞ , (10.1)u(x,0) = u 0 (x), x ∈ R, (10.2)u t (x,0) = u 1 (x), x ∈ R. (10.3)Teorema 10.1. Se u 0 ∈ C 2 (R), e u 1 ∈ C 1 (R), allora il problema (10.1)–(10.3)ha un’unica soluzione u ∈ C 2 (Q ∞ )∩C 1 (Q ∞ ), espressa dalla formulau(x,t) = 1 2[u0 (x−ct)+u 0 (x+ct) ] + 1 2cx+ct ∫x−ctu 1 (s)ds, (x,t) ∈ Q ∞ .(10.4)Dimostrazione. Per il Teorema 3.3, la u, se esiste, deve avere una rappresentazionedel tipo (3.17), valida in Q ∞ . Restano da determinare f e g,cosa che dobbiamo fare usando i dati al tempo t = 0. Questi dannof(x)+g(x) = u 0 (x), (10.5)−cf ′ (x)+cg ′ (x) = u 1 (x), (10.6)perogni x ∈ R. Derivando la(10.5)in x esostituendonella(10.6) siottieneIntegrando in x si ottienef ′ (x) = 1 2 u′ 0(x)− 1 2c u 1(x), x ∈ R.f(x) = 1 2 u 0(x)− 1 2c∫ x0u 1 (s)ds+K, x ∈ R, (10.7)99