Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

A.2. FUNZIONI INTEGRABILI 197dominio di integrazione, il suo integrale è nullo. In particolare se f = gq.o. in E, allora∫|f(x)−g(x)|dx = 0E(e in effetti vale anche il viceversa).Un’altraconseguenzadiquestofattoèchenonèdisolitonecessariodistingueretral’integrale calcolato su [a,b] e quello calcolato su (a,b). Entrambisi denotano con il medesimo simbolo ∫ ba. Si scrive anche∫ ∞−∞∫= ,R∫ ∞a=∫(a,∞), e così via.Esempio A.10. Funzioni continue e limitate su insiemi illimitati. Perqueste f, se sono non negative su E illimitato, basta calcolare∫ ∫∫f(x)dx = lim f(x)χ {|x|≤k} dx = lim f(x)dx; (A.12)k→∞EEk→∞E∩{|x|≤k}spesso la successione di integrali a destra è calcolabile con le solite proceduredegli integrali di Riemann.Se f cambia di segno in E, prima ci si accerta (usando (A.12)) che |f| siaintegrabile in E. Poi si calcola l’integrale di f usando di nuovo la (A.12).Quest’ultima formula non è applicabile a funzioni non integrabili di segnovariabile.Sia per esempio per α ∈ R fissato,f(x) = 1 x α ,x ∈ E = [1, ∞).Allora,∫ k1dxx αQuindi, mandando k a ∞,∫k=k1−α −11−α , α ̸= 1;∫ ∞1{dx 1x α = α−1 , α > 1,+∞, α ≤ 1.1dxx = lnk.Esempio A.11. Funzioni illimitate su limitati. Se f ≥ 0 su E limitatobasta calcolare∫ ∫f(x)dx = lim min ( k, f(x) ) dx. (A.13)k→∞EESe f cambia di segno, dopo aver accertato che |f| è integrabile in E, si puòcalcolare∫ ∫f(x)dx = lim max ( −k,min ( k, f(x) )) dx.k→∞EE□