Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

200 DANIELE ANDREUCCIA.3.1. Proprietà di successioni di funzioni in L 2 (E). Lo spazio L 2 (E) risultauno spazio completo con la norma ‖·‖. Questo significa che unasuccessione di Cauchy in L 2 (E) ha limite in L 2 (E). Più in dettaglio: se lasuccessione {f n } ⊂ L 2 (E) soddisfaper ogni ε > 0 esiste un n ε tale che: ‖f n − f m ‖ ≤ εper ogni n, m ≥ n ε ,allora esiste un f ∈ L 2 (E) tale chelim ‖f n − f‖ = 0.n→∞(A.19)Perdefinizione,sevale la(A.19)sidiceche f n converge a f in L 2 (E). Sivedesubito che se vale (A.19) allora la {f n } è di Cauchy. Inoltre, ricordando la(7.9), dalla (A.19) segue chelim ‖f n‖ = ‖f‖.n→∞Un’altra proprietà interessante è:Data una successione f n che converge a f inL 2 (E), se ne può estrarre una sottosuccessione f nkche converge a f q.o. in E.(A.20)Non è vero però, in genere, che tutta la successione f n converga a f q.o.:la convergenza in L 2 (E) significa che una certa successione di integralidiventa piccola, ma i grafici delle f n possono comunque essere distanti daquello della f (almeno in insiemi piccoli).EsempioA.18. Siconsideriinfattiilseguentecontroesempio: siaE = [0,1];si prendano i due intervalli I 1 = [0,1/2) e I 2 = [1/2,1]; poi i quattroI 3 = [0,1/4), I 4 = [1/4,1/2), I 5 = [1/2,3/4), I 6 = [3/4,1], poi gli ottoI 7 = [0,1/8), I 8 = [1/8,1/4), ..., e così via. Si ponga f n = χ In . Poiché∫E|f n (x)| 2 dx =∫ 10χ In (x)dx → 0, n → ∞,vale che f n tende a zero in L 2 (E). Considerazioni abbastanza semplici,però, mostrano che f n (x) non tende a zero per alcun x ∈ E. □Comunque, se una successione converge sia nel senso di L 2 che in quelloq.o., allora i due limiti devono coincidere (questo segue per esempio dallaproprietà descritta sopra).•Un concetto molto importante è quello dellaconvergenza debole: sidice che una successione{f n } ⊂ L 2 (E) converge in modo debole in L 2 (E) a una funzione f ∈ L 2 (E) se e solo se, perogni fissata g ∈ L 2 (E), vale∫ ∫lim f n (x)g(x)dx = f(x)g(x)dx. (A.21)n→∞E ENella Sottosezione 7.3.1 si discute un esempio di successione che converge nel senso debole,ma non nel senso di (A.19). Viceversa, una successione che converge a f nel senso di(A.19), vi converge anche nel senso debole.Una proprietà notevole è la seguente: