Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

30 DANIELE ANDREUCCI3.2.1. Soluzioni a variabili separabili. Risolviamo l’equazionev rr (r, ϕ)+ 1 r v r(r, ϕ)+ 1 r 2v ϕϕ(r, ϕ) = 0 (3.7)per separazione delle variabili, ossia cerchiamo soluzioni dell’equazionedi Laplace della forma R(r)Φ(ϕ). Si arriva subito aR ′′ (r)Φ(ϕ)+ 1 r R′ (r)Φ(ϕ)+ 1 r 2R(r)Φ′′ (ϕ) = 0,da cui, supponendo RΦ ̸= 0, si passa ar 2R′′ (r) (r)R(r) +rR′ R(r) = − Φ′′ (ϕ)= −λ ∈ R, (3.8)Φ(ϕ)ove l’ultima uguaglianza è dovuta al fatto che il valore comune dei duemembri precedenti non può dipendere né da r né da ϕ.La (3.8) dà il sistemaR ′′ (r)+ 1 r R′ (r)+ λ r2R(r) = 0, (3.9)Φ ′′ (ϕ)−λΦ(ϕ) = 0. (3.10)L’equazione per R è deltipo di Eulero, mentre quella per Φ è a coefficienticostanti.Con calcoli elementari si ottengono le soluzioni:λ < 0:λ = 0:λ > 0:R(r) = c 1 r√−λ+c 2 r −√ −λ ,Φ(ϕ) = k 1 cos( √ −λϕ)+k 2 sin( √ −λϕ).R(r) = c 1 +c 2 lnr,Φ(ϕ) = k 1 +k 2 ϕ.R(r) = c 1 cos( √ λlnr)+c 2 sin( √ λlnr),Φ(ϕ) = k 1 e√λϕ+k 2 e −√ λϕ .Si noti che la condizione RΦ ̸= 0 non è sempre verificata da queste soluzioni;tuttavia si può verificare per sostituzione diretta che esse dannosoluzioni valide in tutto r > 0, −π < ϕ < π.Osservazione 3.1. (Soluzioni in corone circolari)Lesoluzionichecorrispondonoa funzioni regolari u(x,y), definite in corone circolari centratenell’origine, devono soddisfare le condizioni di periodicità (3.3)–(3.5) datesopra. Questo seleziona, tra tuttele soluzioni a variabili separabili trovate,lev(r, ϕ) = ( c 1 r n +c 2 r −n)( k 1 cos(nϕ)+k 2 sin(nϕ) ) , n = 1,2,3,... (3.11)v(r, ϕ) = c 1 +c 2 lnr. (3.12)Se poi vogliamo anche che la u corrispondente sia regolare nell’origine(vedi la (3.2)), dobbiamo prendere c 2 = 0 nelle (3.11), (3.12). □