Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

CAPITOLO 14Trasformata di FourierLa trasformata di Fourier ha importanza notevolissima nellee.d.p.; esiste per funzioni definite su tutto lo spazio.Introduciamone le proprietà più elementari, e qualcheapplicazione.14.1. DefinizioneDefinizione 14.1. Sia f : R → R integrabile su R. Definiamo allora perogni ω ∈ RF[f](ω) =∫+∞−∞e iωx f(x)dx.La funzione F[f] : R → C si dice trasformata di Fourier di f, e si denotaanche con ˆf.□Talvolta, senecessario,siuseràlanotazioneF[f(x)](ω) (diperséabusiva)per chiarire la dipendenza da x di f.Osservazione 14.2. SipotrebbedimostrarechelatrasformatadiFourierdiuna funzione integrabile è continua in R e infinitesima per ω → ±∞. □14.2. Proprietà elementari della trasformata di Fourier14.2.1. Linearità. F è lineare, ossia se f 1 , f 2 sono integrabili su R e c 1 ,c 2 ∈ R, alloraF[c 1 f 1 +c 2 f 2 ] = c 1 F[f 1 ]+c 2 F[f 2 ]. (14.1)14.2.2. Trasformazione di derivate. Se f ∈ C 1 (R), e f, f ′ sono integrabilisu R, alloraF[f ′ ](ω) = −iωF[f](ω), ω ∈ R. (14.2)Dimostrazione. Consideriamo due successioni c + n → ∞, c − n → −∞ taliche f abbia limite zero lungo di esse (vedi Lemma A.14). Allora, integrandoper parti,•∫ c+ nc − ne iωx f ′ (x)dx =Per n → ∞ si ottiene la tesi.[ ] ce iωx + nf(x)c − n∫ c+ n−c − niωe iωx f(x)dx.□145