Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

CAPITOLO 7Sistemi ortonormaliIntroduciamo la teoria dei sistemi ortonormali che ci è necessariaper le applicazioni alle e.d.p..Questo viene fatto nell’ambito di un opportuno spazio vettorialeicuielementisonofunzioni, piuttostochepuntidi R N ; l’analogiacon gli spazi vettoriali elementari è comunque notevole, anche senon completa.Notazione 7.1. In questo capitolo le funzioni, salvo diverso avviso, sonosempre assunte essere in L 2 (I) (vedi Sezione A.3). Identificheremo duefunzioni f e g uguali quasi ovunque, ossia tali che∫|f(x)−g(x)| 2 dx = 0.I7.1. Prodotto scalare di funzioniDefinizione 7.2. Il prodotto scalare di due funzioni f e g è definito da∫(f,g) = f(x)g(x)dx.La norma di una funzione f è‖f‖ =I√(f, f) =( ∫If(x) 2 dx) 1/2.□Questa norma si dice anche la norma di f in L 2 (I), o norma L 2 di f (vediAppendice A).Infine si definisce distanza di f e g la quantità‖f −g‖ =( ∫I|f(x)−g(x)| 2 dx) 1/2.Il prodottoscalare godedelle elementariproprietàdel prodottoscalare travettori:(f,g) = (g, f)(simmetria),(c 1 f 1 +c 2 f 2 ,g) = c 1 (f 1 ,g) +c 2 (f 2 ,g) (linearità),(f, f) ≥ 0, e (f, f) = 0 ⇔ f ≡ 0Qui le c i sono costanti reali.61(positività).□