Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

140 DANIELE ANDREUCCISegue dalla continuità di u e dalla (13.19) che anche la u xN è continua equindi proprio dalla (13.19) segueu xN (x) = 1ω N R N ∫B R (x ′ )dξx N + √ R 2 −|x ′ −ξ| 2∫x N − √ R 2 −|x ′ −ξ| 2 u η (ξ, η)dη= 1ω N R N ∫B R (x)u xN (y)dy. (13.20)È chiaro che gli stessiargomentivalgono anche per ciascuna u xi , per i = 1,..., N−1.Quindi abbiamo dimostrato la seguente implicazione logica:(P) se v è una funzione continua e soddisfa la (13.18) allora tutte le suederivate prime esistono, sono continue e soddisfano la (13.18).Dunque tutte le u xi sono continue e soddisfano la (13.18). Applichiamoora la (P) a v = u xi : ne segue che tutte le derivate u xi x jsono continuee soddisfano ancora la (13.18). Si può proseguire in questa iterazione,dimostrando l’asserto.□Corollario 13.5. Le funzioni armoniche sono di classe C ∞ nell’aperto di definizione,e le loro derivate sono funzioni armoniche.Dimostrazione. Dalla Definizione 1.10 e dai Corollari 1.7 e 1.13 seguesubito che le funzioni armoniche soddisfano le ipotesi del Teorema 13.4.Quindi sono di classe C ∞ . Derivando l’equazione di Laplace, si vede cheanche le derivate ne sono soluzioni, e quindi sono armoniche. □Teorema 13.6. Se u è armonica in Ω, e se B R (x) ⊂ Ω, allora|u xi (x)| ≤ N R max |u|. (13.21)∂B R (x)Dimostrazione. Si sa che le derivate prime u xi soddisfano ancora la proprietàdella media (13.18), dunqueDa questo segueu xi (x) = 1ω N R N ∫B R (x)u xi (y)dy = 1ω N R N ∫∂B R (x)u(y)ν i dσ y .|u xi (x)| ≤ 1ω N R N σ NR N−1 max∂B R (x) |u| = N R max∂B R (x) |u|.Teorema 13.7. (Liouville) Se u è armonica in R N eallora u è costante in R N .u(x) ≥ C > −∞, per ogni x ∈ R N ,Dimostrazione. Definiamo v = u−C; dunque v è non negativa e armonicain R N .□