Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

More documents

Recommendations

Info

80 DANIELE ANDREUCCIprodotto S ×C:√2π sin(nx), 2sin(nx)cos(my),πn,m ≥ 1 (8.27)(e l’analogo sistema C ×S ottenuto invertendo x con y);prodotto C ×C:√ √2 2π cos(nx), π cos(my), 2cos(nx)cos(my),πn,m ≥ 1. (8.28)□Osservazione 8.14. Usando la notazione del Teorema 8.12, una volta chesi è dimostrata la completezza del sistema {ϕ n ψ m }, si può scriveref(x,y) =(f, ϕ n ψ m ) =∞∑m,n=1∫I×J(f, ϕ n ψ m )ϕ n (x)ψ m (y),f(ξ, η)ϕ n (ξ)ψ m (η)dξdη.(8.29)La serie doppia converge nel senso di L 2 (I × J), e la somma può esserecalcolata lungo qualunque successione (vedi Osservazione 7.21). Per contrasto,la(8.25) eraunaseriein cuiciascuno deiterminieraasuavolta unaserie.□Osservazione 8.15. È chiaro che il risultato del Teorema 8.12 può essereiterato un qualsiasi numero finito N di volte. Per esempio, per N = 3 siottiene che se {ϕ n } [risp. {ψ m }; {χ p }] è un sistema ortonormale completoin L 2 (I) [risp. L 2 (J); L 2 (K)], allora {ϕ n ψ m χ p } è un sistema ortonormalecompleto in L 2 (I × J ×K).□8.8. Serie di Fourier in forma complessaSia f ∈ L 2 ((−π, π)), e consideriamo per ogni k ≥ 1 la somma parzialedella sua serie di FourierPonendo dunqueS k (x) = a 0 += a 0 += a 0 +c 0 = a 0 ,k∑n=1k∑n=1k∑n=1a n cos(nx)+b n sin(nx)a ne inx +e −inx2a n −ib n2c m = a m −ib m2c m = c −m = a −m +ib −m2+b ne inx −e −inx2ie inx + a n +ib ne −inx .2, m > 0,, m < 0,
si ottieneSi può quindi scrivere8.8. SERIE DI FOURIER IN FORMA COMPLESSA 81S k (x) =k∑ c m e imx . (8.30)m=−kf(x) =∞∑ c m e imx ,m=−∞con l’avvertenza che il limite della serie, oltre a dover essere inteso nelsenso di L 2 ((−π, π)), deve essere preso sulla successione delle sommeparziali simmetriche come in (8.30).
Page 1 and 2:
Appunti per il corso diFisica Matem
Page 3:
IntroduzioneQuesta è la versione p
Page 6 and 7:
viDANIELE ANDREUCCIParte 3. Il meto
Page 8 and 9:
viiiDANIELE ANDREUCCI19.4. Equazion
Page 11 and 12:
CAPITOLO 1Formulazione delle equazi
Page 13 and 14:
1.2. MOTO BROWNIANO: L’EQUAZIONE
Page 15 and 16:
1.2.3. Cammino medio. Si può verif
Page 17 and 18:
1.4. L’EQUAZIONE DELLA CORDA VIBR
Page 19 and 20:
1.6. IL SIGNIFICATO LOCALE DEL LAPL
Page 21 and 22:
Page 23:
Page 26 and 27:
18 DANIELE ANDREUCCINel caso dei pr
Page 28 and 29:
20 DANIELE ANDREUCCI2.3.2. Problema
Page 30 and 31:
22 DANIELE ANDREUCCIRisultati di di
Page 33:
Parte 2Il principio di massimo
Page 36 and 37:
28 DANIELE ANDREUCCI3.1.2. Equazion
Page 38 and 39: 30 DANIELE ANDREUCCI3.2.1. Soluzion
Page 40 and 41: 32 DANIELE ANDREUCCIPoiché Q è no
Page 43 and 44: CAPITOLO 4Principi di massimoIl pri
Page 45 and 46: 4.2. APPLICAZIONI ALL’EQUAZIONE D
Page 47 and 48: 4.4. APPLICAZIONI ALL’EQUAZIONE D
Page 49 and 50: 4.6. IL LEMMA DI HOPF PER L’EQUAZ
Page 51: Parte 3Il metodo di Fourier
Page 54 and 55: 46 DANIELE ANDREUCCICerchiamo le so
Page 56 and 57: 48 DANIELE ANDREUCCINel caso del pr
Page 58 and 59: 50 DANIELE ANDREUCCIla (5.18) per
Page 61 and 62: CAPITOLO 6Stime dell’energiaIlmet
Page 63 and 64: Dato che ¯t ∈ (0,T) è arbitrari
Page 65 and 66: 6.2. STIME PER L’EQUAZIONE DEL CA
Page 67 and 68: Consideriamo soluzioni di6.4. COMME
Page 69 and 70: CAPITOLO 7Sistemi ortonormaliIntrod
Page 71 and 72: 7.1. PRODOTTO SCALARE DI FUNZIONI 6
Page 73 and 74: 7.3. APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI CO
Page 75 and 76: 7.4. SISTEMI ORTONORMALI COMPLETI 6
Page 77 and 78: CAPITOLO 8Serie di Fourier in N = 1
Page 79 and 80: 8.2. SERIE DI SOLI SENI O SOLI COSE
Page 81 and 82: 8.4. SVILUPPI DI FUNZIONI REGOLARI
Page 83 and 84: per una g ∈ L 2 ((−π, π)), ta
Page 85 and 86: 8.5. IL FENOMENO DI GIBBS 77Sceglia
Page 87: 8.7. PRODOTTI DI SISTEMI ORTONORMAL
Page 92 and 93: 84 DANIELE ANDREUCCIdel genere, cor
Page 94 and 95: 86 DANIELE ANDREUCCI9.2. Il caso di
Page 96 and 97: 88 DANIELE ANDREUCCIPerciò i ‘te
Page 98 and 99: 90 DANIELE ANDREUCCIdati da∫ rR(r
Page 100 and 101: 92 DANIELE ANDREUCCIDimostrazione.
Page 102 and 103: 94 DANIELE ANDREUCCInella (9.39). R
Page 105: Parte 4Formule di rappresentazione
Page 108 and 109: 100 DANIELE ANDREUCCIper un’oppor
Page 110 and 111: 102 DANIELE ANDREUCCIUsando la (1.5
Page 112 and 113: 104 DANIELE ANDREUCCI10.3. Discesa
Page 114 and 115: 106 DANIELE ANDREUCCIOsservazione 1
Page 116 and 117: 108 DANIELE ANDREUCCIConsideriamo i
Page 119 and 120: CAPITOLO 11Integrazione per convolu
Page 121 and 122: 11.1. CONVOLUZIONI 113Teorema 11.4.
Page 123 and 124: 11.1. CONVOLUZIONI 115È facile ved
Page 125 and 126: 11.2. EQUAZIONE DI LAPLACE NEL SEMI
Page 127 and 128: 11.3. IL PROBLEMA DI CAUCHY PER L
Page 129 and 130: 11.3. IL PROBLEMA DI CAUCHY PER L
Page 131 and 132: 11.4. PROPRIETÀ QUALITATIVE DELL
Page 133 and 134: 11.4. PROPRIETÀ QUALITATIVE DELL
Page 135 and 136: 11.5. EQUAZIONE DI LAPLACE NELLA SF
Page 137 and 138: 11.5. EQUAZIONE DI LAPLACE NELLA SF
Page 139 and 140:
CAPITOLO 12Problemi non omogeneiIl
Page 141 and 142:
12.2. EQUAZIONE DELLE ONDE 133Alla
Page 143:
Parte 5Comportamenti asintotici
Page 146 and 147:
138 DANIELE ANDREUCCIAvrà particol
Page 148 and 149:
140 DANIELE ANDREUCCISegue dalla co
Page 151:
Parte 6Trasformate di funzioni
Page 154 and 155:
146 DANIELE ANDREUCCILe trasformate
Page 156 and 157:
148 DANIELE ANDREUCCISi tratta ora
Page 158 and 159:
150 DANIELE ANDREUCCIQuindi, ragion
Page 160 and 161:
152 DANIELE ANDREUCCIDimostrazione.
Page 163:
Parte 7Complementi
Page 166 and 167:
158 DANIELE ANDREUCCISi noti che qu
Page 168 and 169:
160 DANIELE ANDREUCCIC) Troviamo i
Page 170 and 171:
162 DANIELE ANDREUCCIVogliamo ridur
Page 172 and 173:
164 DANIELE ANDREUCCI17.2. Forme qu
Page 174 and 175:
166 DANIELE ANDREUCCIquesto però n
Page 176 and 177:
168 DANIELE ANDREUCCIperché J 1 (u
Page 178 and 179:
170 DANIELE ANDREUCCIdipenderà dal
Page 180 and 181:
172 DANIELE ANDREUCCIIn realtà in
Page 182 and 183:
174 DANIELE ANDREUCCI18.4.4. Ancora
Page 184 and 185:
176 DANIELE ANDREUCCITuttavia la (1
Page 187 and 188:
CAPITOLO 19Equazioni a derivate par
Page 189 and 190:
19.2. CURVE CARATTERISTICHE E CARAT
Page 191 and 192:
19.3. ESISTENZA E UNICITÀ DI SOLUZ
Page 193 and 194:
19.4. EQUAZIONI QUASILINEARI 185s =
Page 195 and 196:
CAPITOLO 20Il teorema del trasporto
Page 197 and 198:
20.2. IL TEOREMA DEL TRASPORTO 189D
Page 199:
Parte 8Appendici
Page 202 and 203:
194 DANIELE ANDREUCCIEsempio A.3. I
Page 204 and 205:
196 DANIELE ANDREUCCIInfine, si dic
Page 206 and 207:
198 DANIELE ANDREUCCIPer esempio co
Page 208 and 209:
200 DANIELE ANDREUCCIA.3.1. Proprie
Page 211 and 212:
APPENDICE BCambiamenti di coordinat
Page 213 and 214:
B.2. COORDINATE SFERICHE 205B.2. Co
Page 215 and 216:
B.2. COORDINATE SFERICHE 207Calcoli
Page 217:
B.3. COORDINATE POLARI IN DIMENSION
Page 220 and 221:
212 DANIELE ANDREUCCI• L’identi
Page 222 and 223:
214 DANIELE ANDREUCCIDobbiamo mostr
Page 224 and 225:
216 DANIELE ANDREUCCISi haY(k)−Y(
Page 226 and 227:
218 DANIELE ANDREUCCIcompatto e con
Page 228 and 229:
220 DANIELE ANDREUCCISoluzioni1.9 D
Page 231:
Parte 9Indici
Page 234:
226 DANIELE ANDREUCCIstazionarie, 3
show all

Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?