Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

188 DANIELE ANDREUCCIDefiniamo anche per ogni Ω 0 tale che Ω 0 ⊂ G 0 ,Ω(t) := {x ∈ R N | x = X(ξ,t), per qualche ξ ∈ Ω 0 }.Nel seguito supponiamo che Ω(t) sia un aperto connesso, limitato e confrontiera C 1 a tratti, così da poter applicare il teorema della divergenza.20.1.1. Il punto di vista euleriano. Le definizioni precedenti sono datenello spirito del punto di vista lagrangiano, in cui si segue il moto di unasingola particella identificata dalla variabile ξ ∈ G 0 .Unpuntodivistadiversoèquelloeuleriano,oveviceversasifadipenderelaquantità di interesse dalla posizione x; si passa a questa rappresentazionecomponendo le definizioni precedenti con la trasformazione inversaove appuntoξ = Ξ(x,t), (20.8)Ξ(·,t) = X −1 (·,t),per ogni fissato t ∈ R. Denotiamo questa composizione come seguef e (x,t) = f(Ξ(x,t),t).Inparticolare avràimportanza larappresentazioneeuleriana dellavelocitàv(x,t) := V e (x,t) = V(Ξ(x,t),t).Ricordiamo anche che, nelle ipotesi fatte, dal teorema di derivazione difunzioni composte segue subito che la matrice iacobiana dell’inversa Ξ èl’inversa della matrice iacobiana della X:( ∂Ξi)(x,t) = D −1 (Ξ(x,t),t). (20.9)∂x j•Denotiamo qui20.2. Il teorema del trasporto⎛D = (d ij ) = ⎝ D ⎞1∗... ⎠ ,D N∗ove appunto D i∗ indica l’i-esima riga di D. Indichiamo anche con D ij lasottomatrice che si ottiene da D rimuovendone la i-esima riga e la j-esimacolonna.Lemma 20.1. (Formula di Cauchy) Assumiamo (20.2), (20.3) e (20.6). Valein G(t)[ 1]e∂J(x,t) = divv(x,t). (20.10)J ∂t