Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

10.2. IL PROBLEMA AI VALORI INIZIALI IN N = 3 101Qui si è definito per comodità di notazione k = 1/c.Per una qualunque funzione v definita su Q ∞ introduciamo la trasformata(denotata dalla maiuscola)V(x, τ) = v(x, τ+ ¯t−kr),v(x,t) = V(x,t− ¯t+kr),per x ∈ R 3 , τ ≥ kr−¯t.Denotiamo poiove si è usato3∂∂r = ∂∑ r xi =∂xi=1 ir xi = x i− ¯x irLemma 10.8. La U soddisfa3x i − ¯x i∑ri=1∂∂x i,, r xi x i= 1 r − (x i− ¯x i ) 2∆U = − 2 crr 3 . (10.12)□∂∂r (rU τ). (10.13)Dimostrazione. Si trova usando il teorema di derivazione di funzionicomposte cheu xi = U xi +U τ kr xi ,u xi x i= U xi x i+2U xi τkr xi +U τ kr xi x i+U ττ k 2 r 2 x i,u t = U τ ,u tt = U ττ .Sostituendoquesteuguaglianze nella (10.9), e usando la (10.12), si arriva a− ∆U−2k ∂U τ∂rche può essere riscritta come la (10.13).−2k U τr= 0,□Lemma 10.9. Valeu(¯x,¯t) = 14π∫{|y−¯x|=c¯t}Dimostrazione. Sia ora[1|y− ¯x|∂U∂ν (y,0)−U(y,0) ∂ (∂ν+ 2 cΩ = {x ∈ R 3 | |x− ¯x| < c¯t}.1|y− ¯x|1]|y− ¯x| U τ(y,0) dσ y . (10.14))Osserviamo cheu(¯x,¯t) = U(¯x,0).