Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

118 DANIELE ANDREUCCIa sua volta questa segue da teoremi di derivazione di integrali dipendentida parametro nel cui dettaglio non entriamo.Si perviene così alla parte di esistenza nelTeorema11.14. Siau 0 ∈ C(R N )unafunzionelimitatasu R N . Alloraesisteunasola funzione u ∈ C(Q + )∩C 2 (Q + ), che sia limitata su Q + e risolva (11.18),(11.19). Tale soluzione ha la rappresentazione in (11.24).La dimostrazione dell’unicità viene omessa.Osservazione 11.15. Si noti che la soluzione u del Teorema 11.14 è unicasolo nella classe delle funzioni limitate. Se per esempio prescriviamo ildatou 0 ≡ 0, oltreall’unica soluzionelimitata u ≡ 0sihaanchelau(x,y) =y. □Osservazione 11.16. La formula (11.24) dà ancora la soluzione del problema(11.18), (11.19) seil dato u 0 è sololimitato (ma noncontinuo) su R N . Inquestocaso u ècontinuain (x,0) neipuntiinterniaintervalli dicontinuitàdi u 0 (vedi Teorema 11.4).□Proposizione 11.17. Se m ≤ u 0 ≤ M, allora m ≤ u(x,y) ≤ M. Se inoltre u 0è integrabile su R N , vale|u(x,y)| ≤ costantey N , x ∈ R N ,y > 0. (11.25)Dimostrazione. Laprimaasserzioneseguesubitodall’Osservazione11.7;comunque, con un calcolo diretto si verifica cheu(x,y) ≥ 2σ N+1∫R N my(|x−ξ| 2 +y 2 ) N+12Per quanto riguarda la (11.25), si ha|u(x,y)| ≤ 2σ N+1∫R N |u 0 (ξ)|y(|x−ξ| 2 +y 2 ) N+12∫dξ = mdξR N ϕ y (x−ξ)dξ = m.≤ 2 ∫y|u 0 (ξ)|σ N+1 y N+1 dξ.R N □Osservazione 11.18. (Comportamento asintotico) La (11.25) asserisceche se il dato al bordo è integrabile, la soluzione non solo è limitata, matende a zero per y → ∞. Si potrebbe comunque dimostrare, come inProposizione 11.24, che vale in questo caso∫ ∫u(x,y)dx = u 0 (x)dx, per ogni y > 0. (11.26)R N R N□