Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

Lemma A.15. Se f è integrabile su [a, ∞), alloraA.3. LO SPAZIO L 2 (E) 199lim∫ ∞m→∞mf(x)dx = 0.(A.17)Lemma A.16. Se f n e f sono funzioni misurabili su un insieme limitato E, e selim f n(x) = f(x), |f(x)|,|f n (x)| ≤ C, q.o. in E,n→∞con C indipendente da x, allora∫ ∫lim f n = f .n→∞ELemma A.17. Se f è una funzione integrabile su (a,b), allora, postoF(x) =∫ xaEf(s)ds, a < x < b,la F risulta continua in (a,b), e la sua derivata F ′ esiste q.o., con F ′ = f q.o.. Inparticolare, se due funzioni integrabili f e g in (a,b) soddisfano∫ xvale f = g q.o. in (a,b).af(s)ds =∫ xag(s)ds, a < x < b,A.3. Lo spazio L 2 (E)Consideriamo le funzioni misurabili in E ⊂ R N che abbiano la proprietàf 2 è integrabile su E.(A.18)Per i motivi che sono chiariti nel Capitolo 7, tra due qualsiasi di questefunzioni f e g vogliamo introdurre una ‘distanza’ (o norma di f −g)(∫1/2.‖f −g‖ := |f(x)−g(x)| dx) 2ECome già osservato, questa quantità risulta nulla se f = g q.o.. Dunquevogliamo in realtà identificare due funzioni che sono uguali quasiovunque.In modo rigoroso, questo si ottiene considerando l’insieme delle classi di equivalenza[f] = {g | g = f q.o.},per ogni f come sopra. Lo spazio L 2 (E) dunque è definito come l’insieme di queste classidi equivalenza, e, per esempio, si definisce(∫ ) 1‖[f]‖ = f(x) 2 2dx .Con le operazioniEλ 1 [f 1 ]+λ 2 [f 2 ] := [λ 1 f 1 + λ 2 f 2 ], λ 1 , λ 2 ∈ R,L 2 (E) risulta uno spazio vettoriale.Di solito, tuttavia, si lavora in termini delle funzioni f, ossia si sceglie (ad arbitrio) unrappresentante della classe [f].