Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

10 DANIELE ANDREUCCIdi x1 ′ e x′′ 1 che le componenti lungo tale asse della tensione nei punti x′ 1 ex1 ′′ si cancellano, ossia S(x 1 ′) = S(x′′ 1 ),oveabbiamo usato(1.29). Infinela tensionenon puòdipenderedaltempo,per la legge di Hooke, e perché, per la nostra ipotesi di approssimazione,la lunghezza del tratto di corda compresotra due ascisse arbitrarie x1 ′ e x′′ 1non varia:∫x 1′′√lunghezza = 1+u 2 x 1dx 1 ≃ x 1 ′′ −x 1 ′ .x ′ 1Perciò S = ¯S costante.Scriviamo poi la legge di moto per un tratto arbitrario di corda: l’unicacomponente significativa delle tre è quella lungo x 2 :∂ 2 ∫x 1′′∂t 2x ′ 1u(ξ,t)ρ(ξ)dξ = S(x ′′1 )u x 1(x ′′∫x 1′′1 )−S(x′ 1 )u x 1(x 1 ′)+ = ¯S[u x1 (x ′′1)−u x1 (x ′ 1)]+x ′ 1x ′′∫ 1x ′ 1F(ξ,t)dξF(ξ,t)dξ, (1.30)ove ρ è la densitàdella corda, e F quella delle forze applicate. Scambiandola derivata con l’integrale, e poi dividendo (1.30) per x1 ′′ −x′ 1 e prendendoil limite x1 ′′ → x′ 1 si ottiene ρu tt − ¯Su x1 x 1= F. (1.31)Se la densità è costante, si ottiene l’usuale equazione delle onde in dimensione1, o della corda vibranteu tt −c 2 u xx = F ρ , (1.32)ove si è denotata come d’uso l’ascissa con x. Si noti che√¯Sc =ρ > 0ha le dimensioni di una velocità.1.5. Onde acusticheConsideriamo un gas, e denotiamo con v la sua velocità, con ρ la densità,con p la pressione, con F la densità di forze esterne.È noto che valgono l’equazione di Eulero∂v∂t +(v∇)v = F−ρ−1 ∇ p, (1.33)e l’equazione di continuità∂ρ∂t+div(ρv) = 0, (1.34)