Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

70 DANIELE ANDREUCCIridefinizione di k. In particolare‖f −S k ‖ = min{‖f − Σ k ‖ | Σ k ∈ F k}, (8.2)ove F k denota l’insieme di tutte le combinazioni lineari di 1 e di sin(nx),cos(nx), con 1 ≤ n ≤ k.8.2. Serie di soli seni o soli coseniPer la risoluzione di problemi al contorno per e.d.p. è importante averea disposizione sistemi ortonormali che soddisfano certe condizioni negliestremi dell’intervallo ove sono definiti; vedi anche la Sezione 5.3. Daquesto punto di vista il sistema di Fourier non risulta comodo, perchèi suoi componenti non hanno un comportamento ben definito in questosenso.Consideriamo i due sistemi di funzioni in (0, π):C =S ={ 1{√}∪√ 2π}π cos(nx) | n ≥ 1 ,{ √ 2π sin(nx) | n ≥ 1 }.Un calcolo elementare mostra che ciascuno dei due sistemi è ortonormalein (0, π). Gli sviluppi in serie relativi a C e a S sono, rispettivamente,e∞∑α 0 + α n cos(nx), α 0 = 1 πn=1∫ π0f(x)dx, α n = 2 π∫ π0f(x)cos(nx)dx,(8.3)∞∑ β n sin(nx), β n = 2 ∫ πf(x)sin(nx)dx. (8.4)πn=10Teorema 8.2. Ciascuno dei due sistemi ortonormali C e S è completo in (0, π).Dimostrazione. Basta svolgere le dimostrazioni per S, il caso di C essendodel tutto analogo. Sia g : (0, π) → R. Estendiamola in modo dispari a(−π, π) (si noti che si può sempre assumere g(0) = 0, per le osservazioniall’inizio del Capitolo 7). Denotiamo con f questa estensione, e costruiamonela serie di Fourier, come visto nella Sezione 8.1. Essendo f dispari,i coefficienti a n relativi alla proiezione sui coseni sono tutti nulli. Per lostesso motivo, i coefficienti b n si calcolano comeb n = 1 π∫ π−πf(x)sin(nx)dx = 2 π∫ π0g(x)sin(nx)dx = β n ,ove β n , definito in (8.4), è proprio il coefficiente relativo all’n-esima funzionedi S.