Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

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viDANIELE ANDREUCCIParte 3. Il metodo di Fourier 43Capitolo 5. Metodo della separazione delle variabili 455.1. Soluzioni a variabili separate 455.2. Autofunzioni del laplaciano 475.3. Sviluppi in serie di autofunzioni 48Capitolo 6. Stime dell’energia 536.1. Equazione delle onde 536.2. Stime per l’equazione del calore 566.3. Stime per l’equazione di Laplace 596.4. Commenti e generalizzazioni 59Capitolo 7. Sistemi ortonormali 617.1. Prodotto scalare di funzioni 617.2. Funzioni ortogonali. Sistemi ortonormali 647.3. Approssimazione di funzioni con sistemi ortonormali 657.4. Sistemi ortonormali completi 66Capitolo 8. Serie di Fourier in N = 1 698.1. Serie di Fourier in (−π, π) 698.2. Serie di soli seni o soli coseni 708.3. Altri intervalli 728.4. Sviluppi di funzioni regolari 738.5. Il fenomeno di Gibbs 758.6. Serie di Fourier dipendenti da un parametro 788.7. Prodotti di sistemi ortonormali completi 788.8. Serie di Fourier in forma complessa 80Capitolo 9. Sviluppi in serie di autofunzioni 839.1. Convergenza dello sviluppo in serie di autofunzioni 839.2. Il caso di dati al contorno non nulli 869.3. Il caso ‘sbagliato’: il sistema ortonormale non rispetta lecondizioni al contorno 879.4. L’equazione di Laplace in coordinate polari 889.5. Autofunzioni nel cerchio 93Parte 4. Formule di rappresentazione 97Capitolo 10. L’equazione delle onde 9910.1. Il problema ai valori iniziali per la corda infinita 9910.2. Il problema ai valori iniziali in N = 3 10010.3. Discesa al piano 10410.4. Dipendenza continua dai dati. 10510.5. Soluzioni deboli 10610.6. Alcuni problemi per altri domini: tecniche di riflessione 107Capitolo 11. Integrazione per convoluzione 11111.1. Convoluzioni 11111.2. Equazione di Laplace nel semispazio 11611.3. Il problema di Cauchy per l’equazione del calore 119
INDICEvii11.4. Proprietà qualitative di soluzioni dell’equazione del calore 12311.5. Il problema di Dirichlet per l’equazione di Laplace nella sfera126Capitolo 12. Problemi non omogenei 13112.1. Il principio di Duhamel 13112.2. Equazione delle onde 13112.3. Equazione del calore 134Parte 5. Comportamenti asintotici 135Capitolo 13. Comportamenti asintotici 13713.1. Problema della lunghezza critica 13713.2. Teorema di Liouville per funzioni armoniche 139Parte 6. Trasformate di funzioni 143Capitolo 14. Trasformata di Fourier 14514.1. Definizione 14514.2. Proprietà elementari della trasformata di Fourier 14514.3. Applicazione per la risoluzione del problema di Cauchy perl’equazione del calore 14714.4. Applicazione per la risoluzione del problema nel semipianoper l’equazione di Laplace 148Capitolo 15. Trasformata di Laplace 15115.1. Definizione 15115.2. Proprietà elementari della trasformata di Laplace 15115.3. Applicazioni alle equazioni differenziali ordinarie 153Parte 7. Complementi 155Capitolo 16. Completezza del sistema di Fourier 15716.1. Le somme di Fejer 15716.2. Completezza del sistema di Fourier 159Capitolo 17. Classificazione delle equazioni lineari del secondoordine 16117.1. Equazioni a coefficienti costanti in due variabili 16117.2. Forme quadratiche ed equazioni del secondo ordine 16417.3. Equazioni a coefficienti non costanti 164Capitolo 18. Cenni alle soluzioni deboli 16518.1. Soluzioni deboli 16518.2. Ricerca di minimi per J 1 16718.3. Soluzioni deboli di equazioni non regolari 16818.4. Un caso concreto di ricerca di soluzioni deboli 17018.5. Il metodo di Galerkin 176Capitolo 19. Equazioni a derivate parziali del primo ordine 17919.1. Equazioni semilineari 17919.2. Curve caratteristiche e caratteristiche al suolo 18019.3. Esistenza e unicità di soluzioni 182
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