Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

168 DANIELE ANDREUCCIperché J 1 (u n ) → m. Dunque per n, k ≥ n ε ,∫1(|∇u n −∇u4 k | 2 un −u)dx = J k1 ≤ m+ε2 2Ω+ m+ε2−m = ε. (18.3)Perciò la successionedei gradienti∇u n (o le successionidelle componentiscalari di ∇u n , se si preferisce) sono di Cauchy in L 2 (Ω). Poiché L 2 (Ω) ècompleto, esiste un vettore p tale che∇u n → p,in L 2 (Ω)(nel senso che ciascuna delle componenti converge in L 2 (Ω)).Per la disuguaglianza di Poincaré in Lemma C.9, visto che u n −u k = 0 su∂Ω,∫ ∫|u n −u k | 2 dx ≤ C |∇u n −∇u k | 2 dx ≤ 4Cε, n,k ≥ n ε ,ΩΩe dunque anche u n è di Cauchy in L 2 (Ω), e converge nel senso di L 2 (Ω)a una funzione u. Vale allora che p = ∇u nel senso delle derivate diSobolev (vedi Sottosezioni 18.4.3 e 18.4.4).Infine ∫ ∫ ∫|∇u| 2 dx = |p| 2 dx = lim |∇u n | 2 dx = m.n→∞ΩΩPerciò u sarebbe punto di minimo per J 1 , se fosse u ∈ K 1 . Ma questo nonrisulta dall’argomento sopra, che invece introduce u come una funzione inL 2 (Ω) con derivate nel senso di Sobolev.Per questomotivo, cioè in sostanza per salvare la validità delragionamentosvolto qui sopra, è bene porsi in questi spazi di funzioni (invece chein C 1 (Ω)) per discutere la minimizzazione di funzionali del tipo di J 1 . Inquesta ambientazione, u è davvero il punto di minimo cercato.18.3. Soluzioni deboli di equazioni non regolariNella Sezione 18.2 abbiamo visto come le soluzioni deboli appaiano di necessitàin un contesto variazionale, ossia quando si trovano soluzioni die.d.p. come punti di minimo di funzionali. Tuttavia esse possono essereintrodotte in modo indipendente da ogni approccio variazionale. Un casotipico in cui è naturale considerare soluzioni deboli è quello in cui l’irregolaritàdei coefficienti dell’equazione rende impossibile l’esistenza disoluzioni classiche.Prendiamo come esempio il problema di diffusione del calore con dati diNeumannΩu t −div(a(x)∇u) = 0, in Ω×(0,T), (18.4)a(x)∇u·ν = 0, su ∂Ω×(0,T), (18.5)u(x,0) = u 0 (x), in Ω. (18.6)Qui la diffusività a > 0 è una funzione limitata e misurabile, ma noncontinua. Per esempio Ω può essere costituito da due regioni Ω 1 e Ω 2 ,