Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

190 DANIELE ANDREUCCICalcoliamo poi∫∂ [ ]∫F(X(ξ,t),t) J(ξ,t)dξ =∂tΩ 0Inoltre, per il Lemma 20.1,∫Ω 0F(X(ξ,t),t) ∂J∂t (ξ,t)dξ = ∫=∫Ω(t)[ 1F(x,t)J∂J∂tΩ 0[=∇F·V + ∂F ](X(ξ,t),t)J(ξ,t)dξ∂t∫Ω(t)[[ 1F(X(ξ,t),t)JΩ 0]e ∫(x,t)dx =Ω(t)Dalle (20.13)–(20.15) segue∫ ∫dF(x,t)dx = ∇F·v+ ∂Fdt∂t +FdivvdxΩ(t)=Ω(t)∫Ω(t)div ( Fv ) + ∂F∂t dx = ∫∇F·v+ ∂F ](x,t)dx. (20.14)∂t∂J](ξ,t)J(ξ,t)dξ∂tF(x,t)divv(x,t)dx. (20.15)Ω(t)∫∂F∂t dx+∂Ω(t)Fv·νdσ x .□