Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

13.2. TEOREMA DI LIOUVILLE PER FUNZIONI ARMONICHE 141Fissiamo due punti x 1 e x 2 ∈ R N , e poniamod = |x 1 −x 2 |.Per R > d si haB R−d (x 2 ) ⊂ B R (x 1 ),e quindi per la proprietà della media (1.54) e per la non negatività di v,∫∫11Rv(x 2 ) =ω N (R−d) N v(y)dy ≤ω N (R−d) N v(y)dy =N(R−d) Nv(x 1).B R−d (x 2 )Prendendo R → ∞ nella (13.22), si ottienev(x 2 ) ≤ v(x 1 ).B R (x 1 )(13.22)Dato che si possonoinvertire i ruoli di x 1 e di x 2 , che sono inoltre scelti adarbitrio, si ottiene che v è costante, e quindi la tesi. □