Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

28 DANIELE ANDREUCCI3.1.2. Equazione del calore. Per l’equazione del calore, se si cercano soluzioninella forma X(x)T(t), esse devono soddisfareda cui subito, supponendo XT ̸= 0,X(x)T ′ (t)−DX ′′ (x)T(t) = 0,X ′′ (x)X(x) = T′ (t)= −λ ∈ R,DT(t)proprio come sopra. Si ottengono le soluzioni:λ < 0:λ = 0:λ > 0:X(x) = c 1 e√ −λx+c 2 e −√ −λx ,T(t) = k 1 e −λDt .X(x) = c 1 x+c 2 ,T(t) = k 1 .X(x) = c 1 cos( √ λx)+c 2 sin( √ λx),T(t) = k 1 e −λDt .Siverificachequestesoluzionielementari risolvonolae.d.p.intuttoilpiano.Soluzioni non identicamente nulle, che si annullano agli estremi di unintervallo limitato, si hanno solo per λ > 0. Soluzioni che soddisfinocondizioni di Neumann nulle agli estremi di un intervallo limitato, manon siano identicamente nulle, si hanno solo per λ ≥ 0. •3.1.3. Equazione di Laplace. Per l’equazione di Laplace le soluzioni nellaforma X(x)Y(y) devono soddisfareda cui se XY ̸= 0,Segue:λ < 0:λ = 0:λ > 0:X ′′ (x)Y(y)+X(x)Y ′′ (y) = 0,X ′′ (x)X(x) = (y)−Y′′Y(y)X(x) = c 1 e√−λx+c 2 e −√ −λx ,= −λ ∈ R.Y(y) = k 1 cos( √ −λy)+k 2 sin( √ −λy).X(x) = c 1 x+c 2 ,Y(y) = k 1 y+k 2 .X(x) = c 1 cos( √ λx)+c 2 sin( √ λx),Y(y) = k 1 e√λy+k 2 e −√ λy .