Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

100 DANIELE ANDREUCCIper un’opportuna costante K. Usando ancora la (10.5), si ottiene ancheg(x) = 1 2 u 0(x)+ 1 2c∫ x0u 1 (s)ds−K, x ∈ R. (10.8)Dalla (10.7) e dalla (10.8) segue subito la (10.4), quando si ricordi (3.17).Questo dimostra che la u, se esiste, deve avere la forma (10.4), e dunqueche la soluzione è unica. Resta da dimostrare che la (10.4) è davvero unasoluzione, il che però segue subito da una verifica diretta. □Osservazione 10.2. La (10.4) si dice formula di D’Alembert. L’intervallo[x−ct,x+ct] si dice dominio di dipendenza del punto(x,t), perché il valoredella soluzione u in (x,t) dipende solo dai valori assunti dai dati in taleintervallo.□Osservazione 10.3. La (10.4) mostra che, nelle ipotesi indicate nel Teorema10.1, la u risultain realtà definitaediclasse C 2 su tutto R 2 (perfino pert < 0). Questo non è sorprendente in vista del lemma seguente. □Lemma 10.4. Se u ∈ C 2 (Q) risolve (3.16) in Q = (a,b) × (α, β), allorav(x,t) = u(x,−t) risolve ancora (3.16) in Q ′ = (a,b)×(−β,−α), e w(x,t) =u(−x,t) la risolve in Q ′′ = (−b,−a)×(α, β).Dimostrazione. Ovvia.Osservazione 10.5. La rappresentazione (3.17) e la (10.4) differiscono nelsenso che la prima (ma non la seconda) prescinde dal dominio di definizionedella u e dagli eventuali dati al contorno.□Esempio 10.6. La funzione□u(x,t) = [ 1−(x−ct) 2] − 1 2+ [ 1−(x+ct) 2] −21risolve (3.16) nel rettangoloR = {(x,t) | −1 < x−ct < 1, −1 < x+ct < 1}.Si ha che u(x,t) → ∞ quando dist(∂R,(x,t)) → 0.□10.2. Il problema ai valori iniziali in N = 3Affrontiamo qui la risoluzione del problema di Cauchy, posto in Q ∞ =R 3 ×(0, ∞),u tt −c 2 ∆u = 0, in Q ∞ , (10.9)u(x,0) = u 0 (x), x ∈ R 3 , (10.10)u t (x,0) = u 1 (x), x ∈ R 3 . (10.11)Il procedimento è molto più complesso che nel caso N = 1.Notazione 10.7. Fissiamo (¯x,¯t) ∈ Q ∞ , e denotiamo con r la distanza da ¯x:r = |x− ¯x|.Introduciamo anche il cono caratteristicot− ¯t = −kr.