Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

126 DANIELE ANDREUCCI11.4.2. Effetto regolarizzante. Supponiamo per semplicità N = 1. Seu 0 (x) = χ (0,+∞) (x) − χ (−∞,0) (x) (una funzione a gradino), la soluzionesi può mettere nella formau(x,t) = 2 √ πx2 √ Dt ∫0e −s2 ds, x ∈ R,t > 0. (11.47)Si noti che la u è in C ∞ ({t > 0}), mentre il dato iniziale non è neppurecontinuo. Questo è un esempio del cosiddetto effetto regolarizzante dell’equazionedel calore, che fa sì che le soluzioni di tale equazione siano sempredi classe C ∞ in ogni aperto dove sono definite, anche se i dati iniziali (o albordo) non lo sono.•11.5. Il problema di Dirichlet per l’equazione di Laplace nella sferaNonostante la geometria sia diversa, anche la soluzione del problema diDirichlet∆u = 0, in B R (x 0 ), (11.48)u = u 0 , su ∂B R (x 0 ), (11.49)ove x 0 ∈ R N , R > 0, può essere espressa mediante un integrale che insostanza è un prodotto di convoluzione. La formula risolutiva èu(x) = 1σ N R∫∂B R (x 0 )R 2 −|x−x 0 | 2|x−ξ| N u 0 (ξ)dσ, |x−x 0 | < R, (11.50)u(x) = u 0 (x), |x−x 0 | = R. (11.51)La formula integrale in (11.50) si dice formula di Poisson. Vedi anche laSottosezione 9.4.3.Nel seguito indichiamo con ∆ x , ∇ x gli operatori differenziali in cui lederivate sono calcolate rispetto alle componenti di x.Proposizione 11.29. Il nucleo di PoissonK(x, ξ) = 1 R 2 −|x−x 0 | 2σ N R |x−ξ| N , x ∈ B R (x 0 ), ξ ∈ ∂B R (x 0 ),è, per ogni ξ fissato, una funzione di classe C ∞ (B R (x 0 )) nella x. Vale poi∆ x K(x, ξ) = 0, in B R (x 0 ). (11.52)Dimostrazione. La regolarità asserita per K è ovvia. Va solo dimostratala (11.52). Per semplicità di notazione e senza perdita di generalitàassumiamo x 0 = 0, e procediamo a derivare:xσ N R∇ x K = −2|x−ξ| N − N x−ξ|x−ξ| N+2[R2 −|x| 2 ].