Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

138 DANIELE ANDREUCCIAvrà particolare importanza qui il primo di questi coefficienti, ossiaα 1 = 2 L∫ L0( π)u 0 (x)sinL x dx.Dunque, dalla (13.9) e dalla definizione di v, segue che∞π2(c−n2u(x,t) = ∑ α n e L 2 D)t sin(n π )L x n=1( π)L xπ2(c−= α 1 e L 2 D)t sin+∞∑n=2(π2(c−= α 1 e L 2 D)t π)sinL x +R(x,t),π2(c−n2α n e L 2 D)t sin(n π )L x(13.10)ove la serie resto R(x,t) soddisfalimt→∞R(x,t)(c−π2e LIl comportamento asintotico per t → ∞ della soluzione u quindi è determinato,nel caso generico α 1 ̸= 0, dal segno della quantità2 D)t= 0, 0 < x < L. (13.11)c− π2L 2 D.In particolare, avendo definito la lunghezza critica√DL c = πc(si verifichi dal punto di vista dimensionale questa definizione), si hannodalla (13.10) i tre casi seguenti.(1) L < L c : in questo caso prevale l’effetto delle condizioni al contorno, elim u(x,t) = 0. (13.12)t→∞(2) L > L c : in questo caso prevale l’effetto del termine di sorgente, elim u(x,t) = ±∞, (13.13)t→∞ove il segno a destra nella relazione di limite va scelto concorde conquello di α 1 , nel caso generico α 1 ̸= 0.(3) L = L c : in questo caso i due effetti si bilanciano elim u(x,t) = α 1sint→∞( πL x ). (13.14)Esercizio 13.1. Che cosa succede nel caso non generico α 1 = 0?Osservazione 13.2. Possiamo ottenere la funzione limite in (13.14) ancherisolvendo la versione stazionaria del problema (13.1)–(13.4), ossia−DU xx = cU, 0 < x < L, (13.15)U(0) = 0, (13.16)U(L) = 0. (13.17)□