Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

CAPITOLO 8Serie di Fourier in N = 1Definiamo i sistemi ortonormali completi in intervalli di R (o diR N ) che più usiamo nelle applicazioni. Si tratta di successioni difunzioni goniometriche.Dimostriamo poi che più la funzione approssimata è regolare,più è rapida la convergenza della serie di Fourier.Viceversa, per funzioni con discontinuità di salto si presenta ilfenomeno di Gibbs.8.1. Serie di Fourier in (−π, π)Consideriamo il sistema di funzioni in L 2 ((−π, π))1√2π,1√ πcos(x),1√ πsin(x),1√ πcos(2x), ... ,1√ πsin(2x), ... ,1√ πcos(nx), ...1√ πsin(nx), ...Questo è detto sistema di Fourier. È facile verificare con calcoli elementariche questo sistema è ortonormale, ossia che, scelte due funzioni ϕ e ψqualunque in esso, si ha(ϕ, ψ) = 1, se ϕ = ψ; (ϕ, ψ) = 0, se ϕ ̸= ψ.È più complesso dimostrare cheTeorema 8.1. Il sistema di Fourier è un sistema ortonormale completo.La dimostrazione verrà data nel Capitolo 16.Introduciamo il classico simbolismoove, per ogni n ≥ 1,a 0 = 12πS k (x) = a 0 +∫ π−πk∑n=1f(x)dx, a n = 1 πb n = 1 π∫ π−πa n cos(nx)+b n sin(nx), (8.1)∫ π−πf(x)sin(nx)dx.f(x)cos(nx)dx,Si noti che si pone S 0 (x) = a 0 . La S k coincide con l’analoga sommatoriaintrodotta sopra per sistemi ortonormali generali, a meno di una69