Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

6.2. STIME PER L’EQUAZIONE DEL CALORE 57ove si è usata anche la (6.2).Infine, ricordando che z è continua nella chiusura di Q T si può prendereθ → 0 e ottenere la tesi (6.8).□6.2.1. Applicazioni ai problemi al contorno.Teorema 6.6. (Unicità) Siano u 1 e u 2 nella stessa classe di regolarità di z nelTeorema 6.5, e siano entrambe soluzioni di PN C , o entrambe soluzioni di PD C .Allora u 1 = u 2 .Dimostrazione. Se u 1 , u 2 sono due soluzioni, allora z = u 1 −u 2 soddisfale ipotesi del Teorema 6.5, con z(x,0) ≡ 0. Ne segue che∫z(x,t) 2 dx = 0, per ogni 0 < t ≤ T,provando così che z ≡ 0 in Q T .ΩSi intende nel Teorema 6.6 che i dati iniziali e al contorno per le due u isiano i medesimi. Ammettendo che i dati iniziali possano essere diversi,si haTeorema 6.7. (Dipendenza continua dai dati) Siano u 1 e u 2 come nelTeorema 6.6, ove si ammette che i dati iniziali u 01 e u 02 possano differire. Allora∫∫|u 1 (x,t)−u 2 (x,t)| 2 dx ≤ |u 01 (x)−u 02 (x)| 2 dx, 0 < t ≤ T. (6.9)ΩΩDimostrazione. La (6.9) è una conseguenza immediata di Teorema 6.5.□Osservazione 6.8. Con riferimento alla Sezione 2.6 delCapitolo 2, nel precedenterisultato di dipendenza continua la distanza tra soluzioni, e dati,è quella definita dagli integrali in (6.9).□6.2.2. Il caso di equazioni con sorgente non nulla. Consideriamo il casoin cui l’equazione contenga un termine noto diverso da zero, cioè il casoin cui (6.7) sia sostituita daValez t −D ∆z = F(x,t), in Q T . (6.10)Teorema 6.9. Sia z regolare come in Teorema 6.5, soluzione della (6.10), ove siassume che F sia integrabile e limitata in Q T . Supponiamo anche che z soddisfi lacondizione (6.2).Vale allora per ogni 0 ≤ t ≤ T∫Ωz(x,t) 2 dx ≤ e t { ∫Ω∫ tz(x,0) 2 dx+0∫ΩF(x, τ) 2 dxdτ}□. (6.11)•