Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

48 DANIELE ANDREUCCINel caso del problema di Neumann, è immediato infatti verificare cheλ = 0 è autovalore corrispondente a ϕ = C, C ̸= 0.Nelcaso delproblema diDirichlet, invece, poiché vale la (5.9), si dovrebbeavere ϕ ≡ 0 in Ω, contro l’ipotesi che ϕ non sia identicamente nulla. □Teorema 5.8. Siano ϕ i , λ i , i = 1, 2, due coppie di autofunzione e relativo autovalore,entrambe per lo stesso problema, di Dirichlet o di Neumann.Allora, se λ 1 ̸= λ 2 , vale∫ϕ 1 ϕ 2 dx = 0. (5.13)Dimostrazione. Visto cheda (1.40) segue∫0 =da cui la tesi.ΩΩϕ i∂ϕ j∂ν = 0,∫(ϕ 1 ∆ ϕ 2 − ϕ 2 ∆ ϕ 1 ) = (λ 1 − λ 2 )Ωϕ 1 ϕ 2 ,Osservazione5.9. IlTeorema5.8vaconfrontatoconl’analogorisultatopergli autovettori di una matrice simmetrica. Anche la (5.13) prende il nomedi relazione di ortogonalità (vedi Sezione 7.2).□Osservazione 5.10. Dalle definizioni, segue subito che se ϕ è un’autofunzione,anche Cϕ lo è, per ogni C ̸= 0. Si può quindi sempre assumere,come faremo nel seguito salvo diverso avviso, che l’autofunzione soddisfi∫ϕ(x) 2 dx = 1. (5.14)ΩLa (5.14) si dice condizione di normalizzazione, e va confrontata con l’omonimacondizione per gli autovettori di una matrice quadrata. □Osservazione 5.11. Data una successione di autofunzioni linearmente indipendenti{ϕn } sipuòsempreassumereche essesianonormalizzate eortogonalidueadue,perfinoquellechecorrispondonoallostessoautovalore(vedi il Lemma 9.2).□Esercizio 5.12. Trovare tutte le autofunzioni (normalizzate) del problemadi Dirichlet per l’equazione di Laplace nell’intervallo (0,L). Risposta □Esercizio 5.13. Trovare tutte le autofunzioni (normalizzate) del problemadi Neumann per l’equazione di Laplace nell’intervallo (0,L). Risposta □5.3. Sviluppi in serie di autofunzioniÈ chiaro, per linearità, che una somma finita di soluzioni a variabili separabilidella forma (5.3) è ancora soluzione della stessa e.d.p., con le stessecondizioni omogenee al bordo. Sotto opportune condizioni di convergenza,anche la somma di una serie infinita di tali soluzioni è soluzione.□