Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

128 DANIELE ANDREUCCIcurva di livello, e pertanto per il principio di massimo è costante in taleregione.□Corollario 11.31. Vale per ogni x ∈ B R (x 0 )∫K(x, ξ)dσ ξ = 1. (11.53)∂B R (x 0 )Dimostrazione. Prendiamo x 0 = 0 per brevità di calcolo, cosa semprepossibile a meno di inessenziali traslazioni. Si consideri la funzione∫v(x) = K(x, ξ)dσ ξ , x ∈ B R (0).∂B R (0)Dalla Proposizione 11.29, e derivando sotto il segno di integrale, segueche v è una funzione armonica in B R (0) (si puòvedereanche la (11.54) permaggior chiarezza). Si noti che, per il momento, non asseriamo nulla sulcomportamento di v per |x| → R.Tuttavia si vede subito che v ha simmetria radiale: sia A una rotazione inR N . Vale allora, visto che A è un’isometria,v(Ax) = 1σ N R∫∂B R (0)R 2 −|Ax| 2|Ax−ξ| N dσ ξ= 1σ N R∫∂B R (0)R 2 −|x| 2|x−A −1 ξ| N dσ ξ = v(x).Infatti per ovvi motivi di simmetria la rotazione A −1 porta la superficie∂B R (0) in sé, e non cambia l’elemento d’area della parametrizzazione,essendo un’isometria.Per il principio di massimo, una v armonica nella sfera, e radiale, non puòche essere ivi costante, perché lo è sulla frontiera di ogni sfera concentricacontenuta in B R (0).Per determinare la costante, basta valutare v(0), che èv(0) = 1 ∫R 2σ N R |ξ| N dσ ξ = 1 R 2 ∫σ N R R N dσ ξ = 1.∂B R (0)∂B R (0)Teorema 11.32. Se u 0 ∈ C(∂B R (x 0 )), la funzione u definita da (11.50)–(11.51)appartiene a C ∞ (B R (x 0 ))∩C(B R (x 0 )), e risolve il problema (11.48).Dimostrazione. Teoremi noti garantiscono che l’integrale in (11.50) sipuò derivare (per x all’interno della sfera B R (x 0 )) scambiando la derivatacon il segno di integrale. Perciò u ∈ C ∞ (B R (x 0 )), e∫∆u(x) = ∆ x K(x, ξ)u 0 (ξ)dσ ξ = 0, (11.54)per la Proposizione 11.29.∂B R (x 0 )□