Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

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130 DANIELE ANDREUCCIUna delle conseguenze del Teorema11.32 è il seguente risultato di regolarizzazione.Corollario 11.33. Se u è armonica in Ω aperto, allora u ∈ C ∞ (Ω).Dimostrazione. Presaunaqualunque sferaaperta B la cuichiusuragiacein Ω, consideriamo la soluzione w di{∆w = 0, in B,w = u, su ∂B.Visto che u−w soddisfa il principio di massimo (vedi i teoremi 4.1 e 4.5),vale u = w in B. Perciò u ∈ C ∞ (B), per il Teorema 11.32. L’arbitrarietà diB ⊂ Ω completa la dimostrazione.□
CAPITOLO 12Problemi non omogeneiIl principio di Duhamel stabilisce che la soluzione di un problemalineare non omogeneo può essere rappresentata comecombinazione di soluzioni di opportuni problemi omogenei.Può essere usato per stabilire formule di rappresentazione disoluzioni di alcune e.d.p. non omogenee.12.1. Il principio di DuhamelSecondo il principio di Duhamel la soluzione di un problema con sorgentenon nulla si ottiene come sovrapposizione di soluzioni di problemi consorgente nulla ma dati ‘iniziali’ corrispondenti a un ‘impulso’ pari allasorgente stessa.Esempio 12.1. Consideriamo il problema di Cauchy per e.d.o.:dy= ay+ f(t),dt(12.1)y(0) = 0, (12.2)ove a ∈ (0, ∞) e f ∈ C([0, ∞)).Applicando il principio di Duhamel risolviamo per ogni 0 < τ < tLa soluzione èSovrapponendo si hay(t) =∫ t0dz(t; τ) = az(t; τ),dtz(τ; τ) = f(τ).z(t; τ) = f(τ)e a(t−τ) , t ≥ τ.z(t; τ)dτ =che è la soluzione cercata di (12.1)–(12.2).Per linearità la soluzione di∫ t0f(τ)e a(t−τ) dτ, t ≥ 0,12.2. Equazione delle ondeu tt −c 2 u xx = f(x,t), − ∞ < x < ∞,0 < t < T,u(x,0) = u 0 (x), − ∞ < x < ∞,u t (x,0) = u 1 (x), − ∞ < x < ∞,131□
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