Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

116 DANIELE ANDREUCCIper t > 0. Una ‘funzione’ δ ≥ 0 che costituisca il dato iniziale per laconcentrazione del gas in questo problema dovrebbe soddisfare∫∫δ(x)dx = 1 (= massa iniziale); δ(x)dx = 0, per ogni ε > 0.R 3 |x|≥εÈ chiaro che non esiste una funzione integrabile con queste proprietà: la‘massa’ dovrebbe essere concentrata tutta in solo punto x = 0, ma è notoche l’integrale su un solo punto si annulla (perché il punto ha misuranulla).Il concetto introdotto sopra in modo euristico si rende rigoroso definendoδ come una distribuzione, ossia come una applicazione δ : C(R N ) → R,definita daδ(f) = f(0), per ogni f ∈ C(R N ).Questa distribuzione è nota come delta di Dirac. Si può definire una successionedi applicazioni δ λ : C(R N ) → R comeδ λ (f) = f ∗ ϕ λ (0), per ogni f ∈ C(R N )(per esempio se tutte le ϕ λ hanno supporto contenuto in B 1 (0), vedi Osservazione11.10). Allora vale δ λ (f) → δ(f) per λ → 0 (convergenza dinumeri reali). In questo senso i nuclei ϕ λ approssimano la delta di Dirac.Ad esempio, nell’ipotetico modello accennato sopra per la diffusionedi un gas da una massa puntiforme, si potrebbero considerare problemiapprossimati corrispondenti ai dati iniziali ϕ λ .•11.2. Equazione di Laplace nel semispazioCerchiamo di risolvere il problema al contorno per l’equazione di Laplace∆u =N∑u xi x i+u yy = 0, x ∈ R N , y > 0, (11.18)i=1u(x,0) = u 0 (x), x ∈ R N , (11.19)ove u 0 è una funzione continua e limitata su R N . L’idea è scrivere lasoluzione nella forma∫∫u(x,y) = u 0 (x−ξ)ϕ λ (ξ)dξ = u 0 (ξ)ϕ λ (x−ξ)dξ, (11.20)R N R Nove i ϕ λ sono opportuni nuclei di approssimazione. Nel seguito supponiamoche i ϕ λ abbiano tutta la regolarità necessaria per l’argomento chesvilupperemo, salvo verificarla a posteriori.È noto che l’integrale nella (11.20) tende a u 0 (x) se λ → 0. Noi vogliamochelau(x,y) tendaau 0 (x)sey → 0: dunquebasteràscegliere λ = λ(y) →0 per y → 0. Questo però garantisce solo la (11.19); resta da verificare la(11.18). Procedendo in modo formale, possiamo pensare di scambiare lederivate con il segno di integrale in (11.18), ottenendo∫∆u(x,y) = u 0 (ξ) ∆ ϕ λ(y) (x−ξ)dξ. (11.21)R N