Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

11.3. IL PROBLEMA DI CAUCHY PER L’EQUAZIONE DEL CALORE 11911.3. Il problema di Cauchy per l’equazione del caloreLeideedellaSezione11.2sipossonoapplicareanchenelcasodell’equazionedel calore. Qui, come d’uso quando si trattano equazioni paraboliche,indichiamo con t la variabile ‘tempo’, e denotiamoQ ∞ = {(x,t) | x ∈ R N ,t > 0}.Tuttavia in questo caso, nella scelta di ϕ λ(t) (x), si deve prendere λ(t) =√Dt, e, in particolare,ϕ λ (x) =1(2 √ x24λπλ) Ne− 2 . (11.27)La giustificazione di questa scelta verrà discussa nella Sottosezione 11.3.2.Consideriamo il problema di CauchyValeu t −D ∆u = 0, x ∈ R N ,t > 0, (11.28)u(x,0) = u 0 (x), x ∈ R N . (11.29)Teorema11.19. Siau 0 ∈ C(R N )unafunzionelimitatasu R N . Alloraesisteunasola funzione u ∈ C(Q ∞ )∩C 2,1 (Q ∞ ), che sia limitata su Q ∞ e risolva (11.28) e(11.29). Tale soluzione ha la rappresentazione∫1u(x,t) = u(4πDt) N 0 (ξ)e −(x−ξ)2 4Dt dξ, (x,t) ∈ Q ∞ . (11.30)2R NLa dimostrazione del Teorema 11.19 viene omessa (vedi anche la Sottosezione11.3.1).Definizione 11.20. La funzione1Γ(x,t) =(4πDt) N 2e − x24Dt , x ∈ R N ,t > 0, (11.31)si dice soluzione fondamentale dell’equazione del calore.Osservazione 11.21. Il significato della soluzione fondamentale (11.31) èstato accennato nella Sottosezione1.2.3. Si vedano anche la Figura 11.1 e laTavola 11.1.□□Γ(x,t) x = 0 x = 10 −2 x = 10 −1 x = 1 x = 10 x = 10 2t = 10 −3 8.92 8.70 0.73 < ε < ε < εt = 10 −2 2.82 2.81 2.19 < η < ε < εt = 10 −1 0.89 0.89 0.87 0.07 < ε < εt = 1 0.28 0.28 0.28 0.21 < η < εt = 10 0.09 0.09 0.09 0.09 0.007 < εt = 5·10 3 0.004 0.004 0.004 0.004 0.004 0.002Tabella 11.1. Alcunivalori numerici assuntida Γ(x,t), perN = 1, D = 1. Qui ε = 10 −100 , η = 10 −10 .