Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

10.6. ALCUNI PROBLEMI PER ALTRI DOMINI: TECNICHE DI RIFLESSIONE 107Esempio 10.21. Il dato u 0 (x) = |x| risulta limite della successione√con u 0n ∈ C ∞ (R). Infattiu 0n (x) =supx∈R√∣x 2 + 1 n , x ∈ R,x 2 + 1 n −|x| ∣ ∣∣∣∣≤ 1 √ n.La soluzione di (10.1)–(10.3) relativa alla coppia di dati (u 0 ,0) si può quinditrovare come limite delle soluzioni relative ai dati (u 0n ,0), oppure sipuò ottenere subito dalla formula di D’Alembertu(x,t) = 1 { }|x+ct|+|x−ct| .2Osservazione 10.22. Considerazioni simili a quelle svolte sopra in dimensioneN = 1sipossonoripetereanche indimensione N > 1, apartiredalleformule di rappresentazione (10.14) e (10.28). In questi casi però occorreche ∇u 0 sia definito.□□10.6. Alcuni problemi per altri domini: tecniche di riflessione10.6.1. Problemi per la corda semiinfinita. Per le soluzioni deboli delproblema (10.1)–(10.3) valgono i seguenti risultati di simmetria.Proposizione 10.23. 1) Se u 0 e u 1 sono funzioni pari, u è pari in x. Inoltre, sesi ha anche u 0 ∈ C 1 (R), e u 1 ∈ C 0 (R), allora u x (0,t) = 0, per t > 0.2) Se u 0 e u 1 sono funzioni dispari, u è dispari in x, e u(0,t) = 0 per t > 0.Dimostrazione. 1) Si calcola dalla formula (10.4), usando l’ipotesi che idati siano pari,u(−x,t) = 1 2[u0 (−x−ct)+u 0 (−x+ct) ] + 1 2c−x+ct ∫−x−ctu 1 (s)ds= 1 [u0 (x+ct)+u 0 (x−ct) ] − 1 22cx−ct ∫x+ctu 1 (σ)dσ,ove abbiamo operato il cambiamento di variabile d’integrazione σ = −s.Si vede subito che l’ultimo termine qui sopra coincide con la u(x,t) comedefinita dalla (10.4).Dunque u x (0,t), se esiste, è nulla; ma in effetti dalla (10.4) segue subitoche u è derivabile in x sotto le ipotesi di regolarità stipulate sopra.2) Si ragiona in modo simile al punto 1). □Poiché le soluzioni C 2 sono anche soluzioni deboli, la Proposizione 10.23vale anche per soluzioni di quella classe.