Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

148 DANIELE ANDREUCCISi tratta ora di trovare la ψ conoscendone la trasformata di Fourier G.Questo si può fare consultando le apposite tavole di trasformate e antitrasformate,o usando la (14.5) e tecniche di analisi complessa.In alternativa, si può procederecome segue. L’idea è di ricavare una e.d.o.per ψ come funzione di x, sfruttandola forma specifica della (14.5); questatecnica funziona spesso per il calcolo di integrali, su domini illimitati, difunzioni di cui non si riesce a trovare una primitiva.A partire dalla (14.5), otteniamo, poiché la parte contenente sin(ωx) èdispari,ψ(x,t) = 12π∫ ∞−∞e −iωx e −ω2t dω = 12π∫ ∞−∞= tπxcos(ωx)e −ω2t dω∫ ∞−∞ωsin(ωx)e −ω2t dω, (14.15)ove abbiamo integrato per parti (in modo non rigoroso, possiamo dire chei valori agli estremi ±∞ sono nulli). D’altra parte∂∂x ψ(x,t) = − 12πDalle (14.15), (14.16) segue∫ ∞−∞ωsin(ωx)e −ω2t dω. (14.16)ψ x (x,t) = − x ψ(x,t), −∞ < x < ∞;2tquesta è una e.d.o. del primo ordine, che integrata dàInfine, dalla (14.5),ψ(0,t) = 12π∫ ∞−∞Perciò si ottiene per la ψψ(x,t) = ψ(0,t)e − x24t .e −ω2t dω = 12π √ t∫ ∞−∞e −s2 ds = 12 √ πt .ψ(x,t) = 12 √ x2e− 4t , (14.17)πtcioè la forma ben nota della soluzione fondamentale dell’equazione delcalore.14.4. Applicazione per la risoluzione del problema nel semipiano perl’equazione di LaplaceConsideriamo il problema nel semipiano y > 0 per l’equazione di Laplaceu xx +u yy = 0, − ∞ < x < ∞,y > 0, (14.18)u(x,0) = u 0 (x), − ∞ < x < ∞, (14.19)ove u 0 è una funzione continua e limitata su R. Richiediamo anche che usia limitata.