Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

CAPITOLO 16Completezza del sistema di FourierDimostriamo che il sistema ortonormale di Fourier è completo.Questo è un risultato difficile che qui viene dedotto dalla teoriadelle approssimazioni mediante convoluzioni.16.1. Le somme di FejerTeorema 16.1. Le medie aritmeticheT k (x) = 1 ()S 0 (x)+S 1 (x)+···+S k (x)k+1soddisfano, se f è limitata su R e periodica di periodo 2π:, (16.1)lim T k(x) = f(x), (16.2)k→∞in ogni punto di continuità x di f.Inoltre la convergenza è uniforme in intervalli compatti di continuità di f.Le somme T k si dicono somme di Fejer, dal nome del matematico chele introdusse. Si noti che non è in genere vero che anche le S k abbiano leproprietà di convergenza dell’enunciato del Teorema 16.1. Tuttavia le S kforniscono un’approssimazione migliore delle T k nel senso della distanza‖·‖, come espresso dalla (8.2). Si noti a questo proposito che in effettiT k ∈ F k .Dimostrazione. Dalla definizione (8.1), si ha per k ≥ 1S k (x) = 12π= 12π= 12π∫ π−π∫ π−π∫ π−π[f(y)[f(y)1+21+2k∑n=1k∑n=1sin(2k+12(y−x)f(y)sin y−x2]cos(ny)cos(nx)+sin(ny)sin(nx) dy]cosn(y−x) dyQui si è usata la (C.1). Per la periodicità dell’integrando si può anchescrivere)S k (x) = 1 ∫ sin( π 2k+12yf(y+x)2π sin y dy; (16.3)2−π157)dy.