Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

13.2. TEOREMA DI LIOUVILLE PER FUNZIONI ARMONICHE 139Questo è un tipico problema agli autovalori, che ha una soluzione diversada quella nulla solo se c/D e L sono legate da certe relazioni, per esempiola L = L c . In questo caso anzi vi sono infinite soluzioni, tutte multiplel’una dell’altra, tra cui quella in (13.14).□Esercizio 13.3. Si consideri la versione multidimensionale del problema(13.1)–(13.4), ossiau t −D ∆u = cu,in Q ∞ = Ω×(0, ∞),u(x,t) = 0, x ∈ ∂Ω,t > 0,u(x,0) = u 0 (x), x ∈ Ω.Qui c > 0 è ancora costante. Si mostri che anche in questo caso esiste unasoglia critica per c, e la si determini. Risposta□13.2. Teorema di Liouville per funzioni armonicheIl teorema di Liouville asserisce che una funzione armonica in tutto lospazio, se è limitata, allora è costante. La dimostrazione si basa su unastima per le derivate di funzioni armoniche. Iniziamo con il dimostrareche le funzioni armoniche sono di classe C ∞ .Teorema 13.4. Se u ∈ C(Ω) soddisfau(x) = 1ω N R N ∫B R (x)u(y)dy, (13.18)per ogni sfera tale che B R (x) ⊂ Ω, allora u ∈ C ∞ (Ω), e tutte le sue derivatesoddisfano ancora la (13.18).Dimostrazione. Denotiamo di seguito x = (x ′ ,x N ), x ′ ∈ R N−1 , e conB R (x ′ ) ⊂ R N−1 la sfera (N −1)-dimensionale di centro x ′ e raggio R (chepuò essere pensata come B R (x)∩{x N = 0}).L’integrale in (13.18) può essere riscritto comeu(x) = 1ω N R N ∫B R (x ′ )dξx N + √ R 2 −|x ′ −ξ| 2∫x N − √ R 2 −|x ′ −ξ| 2 u(ξ, η)dη.Dato che per ipotesi la u è continua, l’integrale sulla destra può esserederivatosecondole regoleusuali della derivazione sottoil segnodi integralee si ha quindi che u xN esiste e valeu xN (x) = 1ω N R N ∫B R (x ′ )[ ( √ )u x N + R 2 −|x ′ − ξ| 2 , ξ( √ )]−u x N − R 2 −|x ′ − ξ| 2 , ξ dξ. (13.19)