Appunti per il corso di Fisica Matematica Daniele Andreucci ...

18.4. UN CASO CONCRETO DI RICERCA DI SOLUZIONI DEBOLI 171Per concentrarci sulla difficoltà posta dal coefficiente a, supponiamo cheu 0 sia regolare, per esempio u 0 ∈ C◦∞ ( )(0,L) .Larisoluzionedellaformulazionedeboledelproblemaconstadeiseguentipassi:(1) Approssimazione della soluzione del problema con una successione{u n } di soluzioni classiche a problemi regolari.(2) Determinazione di Stime uniformi di {u n }.(3) Passaggio al limite per n → ∞, ove si dimostra che {u n } ha un limite uche risolve il problema originario.18.4.1. Approssimazione. Qui si usa la teoria dell’esistenza di soluzioniclassiche a problemi con coefficienti e dati molto regolari; è una teoriaben nota, per certi versi più complessadi quella dell’esistenzadi soluzionideboli. D’altra parte la usiamo per risolvere problemi ausiliari, quindipossiamo in qualche senso scegliere noi il problema da risolvere.Qui scegliamo il problema comeu nt − ( a n (x)u nx)x = 0, in Q T = (0,L)×(0,T), (18.15)a n (0)u nx (0,t) = 0, 0 < t < T, (18.16)a n (L)u nx (L,t) = 0, 0 < t < T, (18.17)u n (x,0) = u 0 (x), 0 < x < L, (18.18)ove a n ∈ C ∞ (R) approssima a nel senso chea n → a,quasi ovunque in (0,L),e soddisfa inoltre le maggiorazioni in (18.14). Per esempio, si può vedereche la convoluzione a∗ ϕ n , ove i ϕ n sono i nuclei di approssimazione delCapitolo 11, soddisfa queste richieste.La teoria su accennata garantisce che esiste una unica soluzione classicau n di (18.15)–(18.18), e che anzi u n ∈ C ∞ (Q T ).•18.4.2. Stime uniformi di u n . Questa parte prepara al passaggio al limiteper la successione delle soluzioni approssimanti già trovate. Per stimauniforme intendiamo quiuna stima uniforme su n, ossia nondipendente dan.Ricaveremo le stime usando il metodo dell’energia, ossia moltiplicando lae.d.p. per funzioni opportune(ad esempio la soluzione medesima), e integrandoper parti.Integrando allora per parti su (0,L)×(0,t) l’uguaglianzasi ha per ogni tu nt u n − ( a n (x)u nx)x u n = 0,∫1L ∫ t ∫ Lu n (x,t) 2 dx+ a n (x)|u nx (x, τ)| 2 dxdτ = 1 ∫ Lu 0 (x) 2 dx =: M 0 .220 0 00Prendendo il sup su 0 < t < T{∫1L }∫ T ∫ Lsup u n (x,t) 2 dx + a n (x)|u nx (x, τ)| 2 dxdτ ≤ 2M 0 . (18.19)0