Identificazione dei Modelli e Analisi dei Dati 27/3/1998

Identificazione dei Modelli e Analisi dei Dati 1/3/19991.a Dare la definizione di probabilità condizionata1.b Enunciare e dimostrare il teorema della probabilità totale.1.c Enunciare e dimosrare il teorema di Bayes.2. Siano X e Y due V.C. che rappresentano le coordinate di un punto scelto in modoequiprobabile nel quadrato disegnato in figura.1Y2.a Calcolare la ddp della V.C. V = max(X,Y).2.b Calcolare la ddp della V.C. W = min(X,Y).2.c Dire, motivando la risposta, se V e W sono indipendenti.13 Si consideri il problema della stima di un modello lineare nei parametri e sisupponga di doverne scegliere la complessità all'interno di classi di modelligerarchici (esempio: costante, retta, parabola, cubica, etc.). In altre parole, si trattadi decidere se i dati sono descritti "meglio" da una retta piuttosto che da unacostante o da una cubica, etc. Si discuta in non più di una pagina e mezza comepuò essere affrontato il problema.4. Si supponga di misurare la grandezza θ 1 mediante tre sensori. I primi dueforniscono delle misure non polarizzate affette da errori di misura v 1 , v 2 :XY 1 = θ 1 + v 1Y 2 = θ 1 + v 2v 1 ~ G(0,1)v 2 ~ G(0,1)Il terzo sensore invece è starato e fornisce una misura polarizzata, conpolarizzazione pari a θ 2 , ed è affetto da un errore di misura v 3 :Y 3 = θ 1 + θ 2 + v 3v 3 ~ G(0,4)Supponendo che gli errori di misura siano tutti indipendenti tra loro, ricavarel'espressione della stima ML di θ 1 e θ 2 in funzione di Y 1 , Y 2 , Y 3 (è sufficientericavare la formula risolutiva senza calcolare l'inversione di matrice).5. Descrivere il test di bianchezza dei "cambi di segno".6. Sia y(·) un P.C. stazionario tale cheE[y(t)] = 1 , γ yy (t) = 0.5τ0.75Trovare il fattore spettrale canonico ed il predittore a k passi.