Corso sperimentale di Matematica per l'Economia e la Finanza

ISTITUTO DI METODIQUANTITATIVICorso sperimentale di Matematicaper l’Economia e la FinanzaModelli dinamici e applicazioni economico/finanziarieIntroduzione.I modelli dinamici sono, normalmente, utilizzati per studiare fenomeni che si evolvono nel tempo. Possiamopensare in grande, come al moto dei pianeti, o in piccolo come all’evoluzione di una popolazione di batteriin una capsula da laboratorio. Nel campo delle “scienze sociali” (economia, scienze politiche…) possiamoconsiderare l’andamento dei prezzi della benzina o il numero di elettori di un partito. Ma gli esempipossono essere molto più numerosi e vari, interessando altre discipline come la sociologia o la chimica o lameteorologia.Per descrivere e studiare questi fenomeni si fa ricorso a “modelli matematici”, cioè rappresentazioniartificiali, necessariamente semplificate, della realtà, che consentano, però, delle “buone” (cioè attendibili)previsioni.Presupposto per poter usare il linguaggio matematico è, ovviamente, l’esistenza di grandezze misurabili inmodo oggettivo (il numero di individui di una popolazione, il prezzo di un bene, il saldo di un contocorrente, l’indice dei prezzi al consumo…). Queste verranno chiamate variabili di stato e l’insieme dei lorovalori descrive il sistema in un determinato momento. Compito del modello dinamico è descriverel’evoluzione, il cambiamento nel tempo, di queste variabili.Per ragioni di ordine pratico, restringeremo la nostra analisi a fenomeni per i quali il tempo possa essereconsiderato una grandezza discreta, cioè assuma solo valori multipli interi di una data unità di misura(giorno, mese, trimestre, anno…) a seconda del fenomeno specifico. In questo modo potremo sempreconsiderare il tempo attraverso una variabile che assume solo valori interi e non nulli:particolare, l’istante iniziale sarà convenzionalmente rappresentato con .E’ opportuno osservare come la scelta di un tempo discreto non sia affatto un limite alla rappresentazione.Molti fenomeni, soprattutto nell’ambito delle scienze economico/aziendali, non hanno una naturacontinua. Pensiamo ai saldi di un conto corrente, normalmente calcolati trimestralmente, oppure ai valoridi bilancio, prodotti con cadenza annuale (trimestrale per le società quotate), ma anche ai prezzi dei beni,rilevati a scadenze precise.In

ISTITUTO DI METODIQUANTITATIVIEquazioni alle differenze.Nozioni di base.Le equazioni alle differenze consentono di formalizzare problemi di natura molto diversa, che spazianodalla biologia, alla medicina, all’economia ed alla finanza.Cosa hanno in comune il numero di individui di una popolazione di conigli, la quantità di pescatonell’Adriatico, i saldi di un libretto di risparmio, l’ammortamento di un mutuo, i prezzi di un mercatoconcorrenziale? Apparentemente nulla! Almeno da un punto di vista “fisico”. Riguardano discipline diverse,ma che condividono, tutte, l’uso della matematica per formalizzare i problemi.In estrema sintesi, un’equazione alle differenze è una “regola” per definire una sequenza di numeri. Ilsignificato di questi valori dipende dall’utilizzatore del modello. Possiamo procedere, attraverso il seguenteesempio, a costruire il nostro primo sistema dinamico.Esempio [saldo di un libretto di risparmio]:Un capitale iniziale di 100,00€ è depositato in un libretto postale il primo gennaio 2010. Poste Italianegarantisce interessi annui pari al 5,00% del capitale in giacenza. Gli interessi sono capitalizzati una voltal’anno 1 . Interessa conoscere i saldi del libretto ad ogni 1 gennaio.Il meccanismo descritto ammette una semplice rappresentazione matematica:S0= € 100,00 Saldo inizialeS1= € 105,00 Saldo dopo un annoS2= € 110,25 Saldo dopo due anniS3= € 115,76 Saldo dopo tre anniCapitale 100Interessi 100x0,05Capitale 105Interessi 105x0,05Capitale 110,25Interessi 110,25x0,05Ogni anno si aggiungono al saldo dell’anno precedente gli interessi maturati. Possiamo scrivere questarelazione analiticamente:1 Significa che ad una scadenza definita contrattualmente (solitamente il 31 dicembre), gli interessi vengono calcolatisul capitale in giacenza ed “accreditati” sul libretto. Dal primo gennaio, gli interessi saranno considerati parte delcapitale e, il 31 dicembre successivo, concorreranno al calcolo dei nuovi interessi.

ISTITUTO DI METODIQUANTITATIVILa prima equazione prende il nome di condizione iniziale ed esprime il primo valore della sequenza dinumeri, la seconda equazione è la prima equazione alle differenze che incontriamo.Osservazioni:• I valori della tabella sono coerenti con le formule descritte, che potrebbero essere efficacementeusate nella costruzione del modello in Excel;• La “variabile” t assume solo valori interi e non negativi, infatti i saldi sono rilevati solo con cadenzaannuale, a partire dall’istante 0.Esercizio [L’astrattezza della matematica]:Nel periodo estivo del 2009 la temperatura media a Città del Messico è stata circa 100° (Fahrenheit,ovviamente). Un noto ambientalista allarmista ha stimato che, per l’inquinamento atmosferico, si registreràun aumento del 5% della temperatura ogni anno. Calcolare le temperature previste per i prossimi anni.Il nostro obiettivo è quello di “formulare e risolvere” equazioni alle differenze. Tuttavia occorre anteporrealcune precisazioni, a partire dal concetto stesso di soluzione di una equazione alle differenze. Una voltaesplicitata la condizione iniziale, infatti, è sempre possibile calcolare la sequenza .Possiamo chiamare questo elenco di valori soluzione per enumerazione. Vale forse la pena di osservareche, nel nostro esempio, se non disponessimo dello stato iniziale del nostro libretto di risparmio, nonpotremmo nemmeno calcolare i saldi successivi. Insomma, l’equazione alle differenze, da sola, è inutile,non consente nessuna previsione.Risulta comunque impossibile ottenere direttamenteessere interessante ricavare dall’equazione alle differenze una formula del tipo, senza enumerazione. Per questo motivo puòche trasformidirettamente in , senza passare dai 132 valori che lo precedono. Anche questa funzionemerita di essere definita soluzione dell’equazione alle differenze. Parleremo, in questo caso, di soluzione informa chiusa.Osservazione:Purtroppo, non tutte le equazioni alle differenze ammettono una soluzione in forma chiusa.Variabile di statoLegge del motoUsando l’esempio introdotto possiamo dedurre quale sia la forma generale di una equazione alledifferenze:Come detto nell’introduzione, la variabile di stato descrive il sistema in un determinato istante di tempo,mentre la legge del moto è la regola con la quale il sistema evolve nello stato successivo. Benché l’esempiointrodotto fosse particolarmente semplice, non occorre molta fantasia per capire che, in generale, il

ISTITUTO DI METODIQUANTITATIVIprossimo stato del nostro sistema può dipendere non solo dal precedente, ma da un numero di statiprecedenti. In questo caso si parla di equazione alle differenze di ordine k. Anche la forma analitica dellafunzione f caratterizza l’equazione. In particolare, quando f è lineare 2 parleremo di una equazione alledifferenze lineare, altrimenti di equazioni alle differenze non lineari. La distinzione è molto importante,perché, come vedremo, le equazioni lineari hanno una soluzione in forma chiusa, mentre quelle non linearitendono a creare dei problemi.A titolo di esempio, possiamo considerare le due equazioni alle differenze:1. ;2. .La prima è un’equazione alle differenze del primo ordine (compare solo nel membro di destra), ma nonlineare (infatti, svolgendo il prodotto compare una potenza). La seconda è un’equazione alle differenze delsecondo ordine (assieme a , compare anche ) lineare 3 .Come abbiamo già evidenziato, per poter cercare una soluzione, è necessario anche esplicitare unacondizione iniziale. Nel caso di equazioni alle differenze di ordine, però, non è sufficiente il solo valoredella variabile di stato in t=0, . Risulta necessario specificare i primi valori delle variabili di stato,indispensabili per calcolare ilPer concludere questa sezione preliminare, ritorniamo all’esempio del conto corrente postale, per trovareanche la soluzione in forma chiusa.Esempio [saldo di un libretto di risparmio] – Soluzione in forma chiusa:E’ evidente che si tratti di una equazione alle differenze lineare del primo ordine. Riprendiamo l’espressioneanalitica:Ogni saldo del conto deve obbedire alla legge descritta, quindi:2 Una funzione è detta lineare quando è additiva ed omogenea, cioè:• (additiva)• (omogenea)Tuttavia, nel caso di funzioni di una variabile reale le funzioni lineari sono solo del tipo. Con abuso dilinguaggio, ma in modo abbastanza frequente, si definiscono lineari anche le funzioni, benché nonsoddisfino le due proprietà.3 Per riconoscere se un’equazione alle differenze è lineare, è sufficiente verificare che tutte le variabili di stato nelmembro di destra compaiano con esponente 1.

ISTITUTO DI METODIQUANTITATIVIEd infine, ricordando che , otteniamo .Modelli lineari: Crescita esponenziale e Indice dei Prezzi al Consumo.L’indice dei prezzi al consumo (CPI, con acronimo anglosassone) è una grandezza impiegata daglieconomisti come misura del costo della vita e dell’inflazione. In Italia l’Istat provvede ad elaborare questoindice a partire da un paniere di beni. Viene definito un anno base, come riferimento per tutti i prezzisuccessivi e, fatto cento l’indice per questa annualità, si stima il tasso di crescita annuo dei prezzi.Per non essere tacciati di provincialismo e disporre di dati pre-elaborati, possiamo fare riferimentoall’elaborazione (equivalente) del Bureau of Labor Statistics (L’Istat statunitense), che prende comeriferimento l’indice elaborato per gli anni 1983/1984 e, approssimativamente, ha stimato 4 una crescitamedia annua del CPI pari al 3,2% annuo.Possiamo facilmente impostare il sistema dinamico corrispondente. La legge del moto sarà:Con procedimento analogo a quanto fatto nella sezione precedente avremoL’ultima formula è la soluzione in forma chiusa dell’equazione alle differenze del nostro modello. Notiamoche è possibile calcolare il CPI in un qualsiasi anno successivo a quello di riferimento, .4 I valori del CPI calcolabili con l’ipotesi di una crescita costante del 3,2% annuo non sono molto diversi da quellirilevati empiricamente, cioè veri.

ISTITUTO DI METODIQUANTITATIVIOsservazione:La sequenza dei CPI, scritta nella formula“esponenziale” 5 .manifesta chiaramente la propria naturaIl modello appena affrontato può essere generalizzato, considerando una qualsiasi quantità che aumenti diuna percentuale costante per intervallo di tempo. Possiamo fissare, per comodità, e avereun’equazione alle differenze del primo ordine lineare del tipopered ottenere come soluzione in forma chiusa .5 Una funzione esponenziale è del tipo , con la base numero reale positivo diverso da 1 costante el’esponente variabile.

ISTITUTO DI METODIQUANTITATIVIAnalogamente si può immaginare che una quantità decresca di una percentuale costante per intervallo ditempo. Con la stessa notazione del modello precedente, avremo:e la soluzione in forma chiusa .Modelli lineari affini: Un semplice piano di accumulo.Come abbiamo detto un’equazione alle differenze del primo ordine è lineare solo se della forma .Tuttavia sono molto simili, matematicamente, delle forme del tipoche abbiamo definito lineari affini.versamento costante di. Questa semplice operazione cambia la legge del moto del nostromodello. Infatti, senzanecessità diIl capitale più gli interessi Il nuovo versamentoripetere icalcoli iniziali, il saldo delprossimo anno sarà:perperIl caso che vogliamo studiare è quello di un semplice piano di accumulo. Riprendendo l’esempio del nostrolibretto postale, abbiamo a disposizione uno strumento finanziario che remunera annualmente il capitaledepositato ad un tasso del 5%. Nel nostro primo investimento abbiamo “conferito” capitale una sola volta,all’inizio, ed abbiamo guardato crescere i saldi. Con il Piano di Accumulo, invece, a scadenze prefissate (percomodità coincidenti con l’accredito degli interessi, prevediamo di integrare il nostro risparmio con unAnche in questo caso, conoscendo il versamento iniziale, siamo in grado di calcolare, per enumerazione, isaldi successivi:E’ interessante anche cercare una possibile soluzione in forma chiusa.

ISTITUTO DI METODIQUANTITATIVIOsservazione:La formula appena ricavata appare meno chiara delle precedenti a causa dell’ultima parentesi. Tuttavia èopportuno ricordare cheFinalmente, la soluzione in forma chiusa è:L’espressione appena ricavata consente alcune valutazioni sull’operazione finanziaria intrapresa. E’possibile, ad esempio, chiedersi dopo quanti anni avremo raddoppiato il capitale iniziale. Matematicamenteil problema equivale alla soluzione della disequazioneSenza indugiare, per brevità, nella soluzione di una disequazione esponenziale, si ottiene che dopo 6 anni ilcapitale risulta più che raddoppiato.Esercizio:Un piano di accumulo prevede versamenti mensili diin un prodotto finanziario che garantisce unrendimento netto del mensile. Non è previsto nessun versamento iniziale. Dopo avere scrittol’equazione alle differenze che governa il sistema ed averne trovato la soluzione in forma chiusa,determinare dopo quanti mesi il piano di investimento superi il valore di 10.000,00€.Soluzione generale per le equazioni alle differenze del primo ordine lineari(affini).La soluzione dell’esercizio precedente suggerisce l’opportunità di sviluppare una soluzione in forma chiusaper una qualsiasi equazione della formapercon positivo (crescita) o negativo (decrescita) e .Seguendo passaggi simili a quelli già svolti avremo:

ISTITUTO DI METODIQUANTITATIVIIl modello matematico, così sviluppato, si adatta ad una varietà di problemi, non solo economici.Esercizio:Il Dottor Casa decide di somministrare ad un paziente un antibiotico in dosi costanti di 200 milligrammi ogni12 ore. Il medicinale viene smaltito dall’organismo e la dose in circolo nel sangue si riduce del 40% ogni 12ore. Costruire l’equazione alle differenze che rappresenta l’ammontare di antibiotico nel sangue delpaziente ogni 12 ore, risolvere il modello e calcolare il dosaggio dopo 48 ore di cura.Ammortamento di un debito.Ammortizzare un debito significa semplicemente ripagarlo. In un mondo capitalistico il tempo è denaro,quindi per restituire in futuro un capitale prestato oggi, dovremo riconoscere al nostro creditore anche uninteresse (una sorta di premio per la pazienza). Uno dei metodi (matematici) più frequenti per ripagare idebiti (mutui, prestiti personali, rateizzazioni di pagamenti, ma anche, con qualche piccola differenza,leasing) è noto come “ammortamento alla francese”. La pratica consiste nel pagare, a scadenze fisse, unasomma di denaro costante che restituisce parte del capitale prestato e paga una quota degli interessimaturati nel frattempo. Ad ogni pagamento, quindi, il debito si sarà ridotto, ma rimarrà, comunque, unaquota di capitale sulla quale matureranno nuovi interessi. Dopo ogni pagamento, il debito residuo( sarà il debito pregresso , aumentato degli interessi (in ragione di una percentuale )dovuti per il periodo di tempo trascorso e diminuito della ratacorrisposta. QuindiEsempio [Ammortamento di un debito]Un mutuo prima casa dideve essere restituito mediante il pagamento di rate annue diimporto 7.967,90€. Il tasso di interesse annuo concordato èdifferenze del debito residuo e la soluzione in forma chiusa.. Scrivere l’equazione alleOvviamente avremoche ricade nel modello appena sviluppato in modo generale. Possiamo quindi ricavare, senza ulterioripassaggi, che la soluzione sarà

ISTITUTO DI METODIQUANTITATIVIOsservazione:Se provassimo, con l’ausilio di una calcolatrice, a calcolarenullo. Cosa significa? Quanto varrebbe ?troveremmo un risultato (praticamente)Disporre di un modello generale permette alcune valutazioni ulteriori.Esempio:Un debito di 1.000,00€ deve essere ripagato in 20 rate mensili di importo costante. Il tasso di interessemensile concordato è . Calcolare l’importo della rata da corrispondere.Poiché è nota la funzione che definisce il debito residuo:La richiesta è che. Quindi si chiede di risolvere una (facile) equazione di primo grado:dalla quale si ottiene, con un po’ di approssimazioneEsercizio [Il dilemma di Mastrotta]:Un materasso del valore commerciale di 850,00€ è acquistato a rate. Si pianifica di pagare 36 rate mensili diimporto costante, riconoscendo al venditore un tasso di interesse mensile . Scrivere e risolvere ilmodello dinamico che rappresenta i debiti residui. Calcolare l’importo della rata.Equazioni alle differenze del secondo ordine.Possiamo ora considerare il caso di equazioni alle differenze lineari del secondo ordine. La forma generale èIn questo caso non è più sufficiente, per l’enumerazione delle soluzioni, una sola condizione iniziale. Infatti,data la sola non ci sarebbe modo di conoscere . Sono evidentemente necessarie due condizioni, omeglio i primi due valori della sequenza di numeri.Forse il primo di questi problemi è stato proposto e risolto nel 1202 dal matematico italiano Fibonacci.Esempio [I conigli di Fibonacci]Un agricoltore acquista una coppia di conigli (uno maschio e l’altro femmina), per avviare il proprioallevamento. Gli animali sono troppo giovani per procreare immediatamente, ma saranno in grado di farlotrascorso un mese. La particolare razza prescelta garantisce che ogni coppia di conigli è in grado di generareuna coppia (maschio+femmina) ogni mese a partire dal secondo. Supponendo che i conigli non muoiano,vogliamo sapere quante coppie di conigli saranno presenti dopomesi.Applicando le regole di natalità descritte, possiamo ottenere la successione delle coppie:0 0

ISTITUTO DI METODIQUANTITATIVI0 01 1+ 0 01 1+ 2 2+ 0 03 3+ 1 1+ 4 4+ 2 2+ 0 0Le nuove coppie nate saranno in grado di produrre conigli solo dopo un mese. Numericamente, laconsistenza dell’allevamento sarà, mese dopo mese:Questa soluzione è nota come successione di Fibonacci e può essere generata dall’equazione alle differenzeperfissandocome soluzioni iniziali.E’ interessante cercare di ottenere anche una soluzione in forma chiusa dell’equazione. In questo casoadottiamo un metodo anche detto “per tentativi ed errori”. Cerchiamo una plausibile soluzione, lasostituiamo nell’equazione alle differenze e vediamo a cosa ci porta.Per le equazioni lineari del primo ordine abbiamo già visto che la soluzione è di tipo esponenziale. Proviamodunque una forma simile nel caso dei conigli e vediamo cosa possiamo ottenere. L’ipotesi è dunqueconcostante da determinare. Se la nostra ipotesi è corretta, allora dovremmo avere ancheSupponendo , per ovvie ragioni e semplificando per , fattore comune e positivo tra i tre addendi,l’equazione precedente risulta equivalente alla equazione di secondo gradoIl polinomio nel membro di sinistra è detto polinomio caratteristico dell’equazione alle differenze.L’uguaglianza è vera per

ISTITUTO DI METODIQUANTITATIVILa soluzioneè nota come sezione aurea.Abbiamo quindi trovato due soluzioni possibili soluzioni della nostra equazione alle differenzeIn realtà ne abbiamo trovate infinite. Infatti possiamo dimostrare che anche una qualsiasi combinazionelineare delle due soluzioni (una somma con dei coefficienti) è ancora una soluzione.Consideriamo , per qualsiasi, almeno per il momento. Dobbiamo verificare chesoddisfa l’equazione alle differenze, ovvero:Raccogliendo a fattore comune si ottienecome volevasi dimostrare.Il procedimento svolto fino a questo punto ha permesso di determinare una generica soluzionedell’equazione alle differenze. Per concludere il problema del nostro agricoltore occorre determinare ivalori dei parametri. Per farlo possiamo ricorrere alle condizioni iniziali:Che si riduce al sistemaCon soluzione (unica!)Finalmente, quindi, il numero di conigli dopomesi saràIl fatto più impressionante di questa formula è, provare per credere, che, nonostante i valori irrazionali, irisultati che si ottengono sono sempre interi!Osservazione:Senza voler proseguire nei calcoli, conviene comunque ricordare che ogni equazione alle differenze linearedi ordine può essere risolta con il metodo descritto. Il polinomio caratteristico sarà di ordine , comesaranno i parametri indipendenti da determinare. Per le equazioni non lineari, invece, i metodi analitici per

ISTITUTO DI METODIQUANTITATIVIla soluzione sono scarsi e si possono trovare soluzioni in forma chiusa solo per casi particolari.

ISTITUTO DI METODIQUANTITATIVIEsercizi proposti.Esercizio 1. Ogni anno una colonia di conigli cresce, per effetto della natalità, del 3% (tasso di natalità)della popolazione esistente. Nello stesso tempo, tuttavia, la popolazione diminuisce del 1,5% (tassodi mortalità) della popolazione esistente, per effetto dei decessi (spontanei e per macellazione).Sapendo che la popolazione attuale è di 300 conigli, quale sarà la popolazione tra n anni? Traquanti anni avrà superato la soglia di 1.000 conigli?Esercizio 2. Un impiegato riesce a risparmiare 100,00€ al mese che deposita in un conto vincolato chegarantisce un tasso di interesse dello 0,30% al mese.a. Calcolare il saldo del conto vincolato dopo n mesi, supponendo che non vengano effettuatiprelievi.b. Dopo quanti mesi l’impiegato sarà in grado di acquistare l’ultimo modello di Home Theaterdel valore di 20.000,00€, comprensivo di abbonamento alle dirette della ProPatria Calcio?Esercizio 3. Una famiglia necessita di un mutuo prima casa per un valore complessivo di 120.000,00€.L’Istituto di Credito erogante propone un piano di rimborso con rata mensile fissa ed interessimensili pari al 0,50% del debito residuo. Calcolare il numero di anni necessari per ripagarecompletamente il debito.Esercizio 4. Un Comune contrae un debito di 500.000,00€ per l’ammodernamento della rete fognaria.Cassa deposito e prestiti propone un tasso di interesse semestrale pari al 2,47% ed un rimborso arate semestrali costanti. Calcolare l’importo della rata affinché il rimborso avvenga in 30 anni.Esercizio 5. Siala soluzione del problema di Fibonacci. Dimostrare 6 che6 Suggerimento: dividere l’equazione alle differenze per e supporre che il limite esista positivo.

ISTITUTO DI METODIQUANTITATIVIEquilibrio di un sistema dinamico discreto del primo ordine.Come detto, non sempre siamo in grado di trovare una soluzione in forma chiusa della nostra equazionealle differenze. In molte occasioni, tuttavia, questo non è un limite. L’interesse per la soluzione può esserelegato a conoscere l’evoluzione del sistema, al fine di prevedere se, prima o poi, si verificherà unasituazione di equilibrio.Partiamo con la descrizione matematica del concetto di equilibrio di un sistema dinamico (discreto). Comenel linguaggio comune, equilibrio significa “assenza di moto”. Un sistema dinamico è dunque in equilibrioquando non vi è evoluzione. Nel caso delle nostre equazioni alle differenze l’equilibrio può esserecaratterizzato dalla condizione:Poiché la legge del moto ci garantisce che, l’equazione descritta diventaPoiché la variabile è la medesima a destra e sinistra dell’uguale, possiamo anche omettere l’indicericerca degli equilibri si riduce, quindi, alla risoluzione di una semplice (?) equazione.. LaEsempio.Consideriamo l’equazione alle differenze non linearesistema.. Cerchiamo gli equilibri delDobbiamo risolvere l’equazione 7Ovvero l’equazione di secondo grado , che ha soluzioni e .Osservazione:Cosa succederebbe se la condizione iniziale fosse ?L’interesse per lo studio degli equilibri di un sistema dinamico è connesso al comportamento delle soluzionigenerali del sistema stesso.Esempio [Evoluzione di una popolazione]Riprendiamo il realistico esempio dell’esercizio 1. I nostri conigli crescono secondo il sistema7 Come detto, eliminiamo l’indice!

ISTITUTO DI METODIQUANTITATIVINe conosciamo la soluzione in forma chiusa, essendo il sistema dinamico lineare:Ora possiamo anche trovare l’equilibrio del sistema dinamico… sorprendentemente, l’unica soluzione è.Proviamo a chiederci cosa succederà al passare del tempo, quanti conigli affolleranno il nostro allevamentolasciando passare le stagioni? Matematicamente il problema può essere risolto andando a “sbirciare” nelfuturo con l’operazioneRisultato prevedibile, per le note doti dei conigli! La popolazione tenderà ad esplodere, se nonintervengono meccanismi esterni.L’equilibrio del sistema descritto, pur facile da determinare, non dà grandi soddisfazioni (la popolazione è inequilibrio solo se non ci sono individui … eventualmente contati come coppie …). Ogni soluzione (in formachiusa), cioè indipendentemente dal valore , inevitabilmente produrrà una colonia di proporzionisterminate! In situazioni di questo genere si parla di equilibrio instabile. Il contrario di questa situazione èdefinito attrattore. Un equilibriodella condizione iniziale, la soluzione del sistema converge a :di un sistema dinamico è un attrattore globale quando per ogni valoreLa condizione può essere mitigata, definendo un attrattore locale, quando solo per alcuni valori dila condizione descritta dal limite.valeOsservazioni:1. Un sistema dinamico può non possedere equilibri (ad esempio )2. Se un sistema dinamico possiede un attrattore globale, questo è unico. (Perché?)3. Se un sistema dinamico possiede più di un equilibrio, nessuno sarà un attrattore globale. (Perché?)Esempio [Ancora sui conigli]Forti della capacità dei bianchi roditori di crescere a dismisura, possiamo allora avviare un fiorentecommercio di conigli da compagnia (o da tavola). Programmiamo di rifornire il nostro cliente principale di15 conigli adulti ogni mese (ovvero con la stessa frequenza delle natalità/decessi già rappresentati).Vogliamo verificare l’equilibrio del sistema, trovarne la soluzione e verificare la stabilità del sistema.Il sistema che governa l’evoluzione sarà ora

ISTITUTO DI METODIQUANTITATIVIAnche in questo caso, ne abbiamo già sviluppato la soluzione:L’equilibrio èda cuisimpatici conigli.Possiamo ora verificare se l’equilibrio sia ancora instabile o un attrattore:t⎛t1,015 − 1 ⎞lim xt= lim ⎜1,015 × 300 − 15 × ⎟ = −∞!!!x →∞ x →∞⎝0,015 ⎠Siamo dunque destinati a vedere fallire i nostri sogni di ricchezza.Lo studio della stabilità degli equilibri può, dunque, prevenire scelte economicamente avventate.Matematicamente esistono metodi “classici”, basati su condizione analitiche richieste alla legge del motoper garantire la stabilità degli equilibri e metodi “moderni”, che utilizzano anche condizioni grafiche,attraverso i diagrammi di fase.Stabilità dei sistemi dinamici: diagrammi di fase.Un diagramma di fase è il grafico della funzione f che abbiamo chiamato legge del moto. Sull’asse delleascisse rappresentiamo l’”oggi”, ovvero xt, sull’asse delle ordinate il “domani, ovvero xt + 1.Esempio:Rappresentiamo il diagramma di fase dell’equazione alle differenzex12t + 1 = xt+1La funzione di cui cerchiamo il grafico è f ( x ) = x + 1 : una retta crescente. La condizione che definisce21l’equilibrio, x = x + 1 , può essere letta come condizione di intersezione tra il grafico di f e quello della2bisettrice del primo e terzo quadrante.Il diagramma di fase consente anche di “visualizzare” l’evoluzione del sistema. Sull’asse delle ascissepossiamo infatti individuare il valore dalla condizione iniziale x0= − 1 e “risalire” fino al grafico di f .Troveremo così la coppia , ovvero , (oggi, domani). Poiché il domani di oggi è l’oggi di1domani, la coppia successiva saràsfruttando ancora la bisettrice.… grazie alle proprietà di simmetria, possiamo “muoverci”

ISTITUTO DI METODIQUANTITATIVIAppare abbastanza evidente che, partendo dalla condizione iniziale, l’evoluzione del sistema porterà versol’equilibrioAbbiamo finalmente trovato un equilibrio stabile, un attrattore. Provando con altri valoriiniziali, otterremo “percorsi” simili, tutti convergenti aEsercizio:. L’equilibrio è un attrattore globale.Ricavare la soluzione generale dell’esempio precedente e calcolare il .Esercizio:Costruire il diagramma di fase dell’esempio dei conigli e studiare la stabilità dell’equilibrio.Appoggiandoci allo studio del diagramma di fase, si intuisce che la stabilità dell’equilibrio è connessa allapendenza del grafico della legge del moto. Meglio, alla pendenza della legge del moto rispetto a quella dellabisettrice. Vale infatti il seguenteTeorema: Se è un equilibrio per il sistema dinamico e se allora è unattrattore (almeno) locale.Osservazione:Con sistemi lineari la valutazione è più semplice: basta considerare il coefficiente angolare!Equilibrio in un mercato concorrenziale.Equilibrio staticoUn mercato si dice in equilibrio quando la domanda uguaglia l’offerta del bene venduto. Per semplicitàassumiamo che nel mercato sia venduto un unico bene indifferenziato: Caffè.La variabile che influenza principalmente tanto la domanda quanto l’offerta è il prezzo del bene. Il prezzo diequilibrio è tale da garantire l’uguaglianza tra quantità domandata e quantità offerta. Normalmente,all’aumentare del prezzo diminuisce la domanda (funzione decrescente) ed aumenta l’offerta (funzionecrescente). La forma funzionale più semplice per le due funzioni è lineare affine:dove è la quantità (domandata o offerta), il prezzo e sono parametri. Ineconomia si definisce poi il concetto di domanda potenziale, ovvero la quantità di caffè che sarebbedomandata (e consumata) se il bene fosse gratuito ( ).Osservazione:• Il grafico delle due funzioni, dal punto di vista economico, esiste solo nel primo quadrante.• Tutti i valori dei parametri sono rilevabili empiricamente.La condizione di equilibrio statico, come detto, richiede

ISTITUTO DI METODIQUANTITATIVIOvvero l’intersezione tra le due rette.Esempio:Siano la domanda e l’offerta di caffè regolate dalle funzioni:eTroviamo l’equilibrio di mercato. Anche senza ricorrere al grafico, possiamo ricavareda cuie la quantità di equilibrio saràQualsiasi prezzo diverso da 15€ lascerebbe della domanda insoddisfatta o dell’offerta in eccesso.Esercizio:Verificare che il prezzo di equilibrio, in un modello con domanda e offerta lineari, è .Equilibrio dinamico.Purtroppo i mercati non sono “naturalmente” in equilibrio, ma esistono processi di aggiustamento che, neltempo, possono condurre verso l’equilibrio. Il problema più ovvio è che produttori e consumatori nonassumono le decisioni contemporaneamente. Il caffè disponibile nel mercato oggi, infatti, è stato piantatoun anno fa. Se il consumatore decide quanto caffè acquistare in base al prezzo di oggi ( ), il produttore hadovuto decidere un anno prima quanto caffè produrre e offrire oggi, quindi in base a delle previsioni suiprezzi (). Una parte interessante dell’economia studia come queste aspettative si formino. L’idea piùelementare è che siano semplicemente i prezzi dell’anno prima:definisce l’equilibrio diventa. Ecco allora che l’equazione cheUn sistema dinamico.Esempio:Riprendendo i dati dell’esempio statico, avremo:Da cui si ottiene l’equazione alle differenze

ISTITUTO DI METODIQUANTITATIVILa forma lineare dipende dalla forma iniziale delle funzioni di domanda e offerta.Ecco quindi definito il meccanismo di aggiustamento dei prezzi. Ogni anno, per effetto della legge delladomanda e dell’offerta, i prezzi si aggiornano e, di conseguenza, le quantità domandate e offerte.Supponiamo che . Per questo prezzo, i coltivatori di caffè sono disposti a produrre solo 2 unità. Ladomanda resterebbe insoddisfatta (potenzialmente si consumerebbero 26 unità) e, di conseguenza, i clientisarebbero disposti a pagare prezzi più elevati, esattamente 12 euro ( ). Ecco fissato ! Conquesto prezzo, però, viene programmata una produzione eccessiva rispetto alla domanda: 14 unitàprodotte contro le 6 domandate. L’eccesso di offerta produce una diminuzione dei prezzi…Possiamo sia scrivere la soluzione in forma chiusa, sia cercare l’equilibrio e la sua stabilità. Lasciando laprima parte come esercizio, ci concentriamo sulla seconda. L’equilibrio è dato dalla condizione:Risolvendo si ottiene ! Lo stesso equilibrio statico. Sia graficamente, sia in base al teorema, sievidenzia che l’equilibrio è sicuramente stabile, ovvero possiamo aspettarci che i prezzi del mercato siavvicinino a 15€.Esercizio:1. Dopo avere trovato, nell’esempio precedente, la soluzione in forma chiusa, determinare dopoquanto tempo i prezzi saranno maggiori di 14€.2. E’ possibile che, trascorso il tempo ricavato al punto 1., i prezzi diventino maggiori di 17€? E minoridi 12€? Perché?Osservazione:Un tempo infinito è chiaramente inconcepibile. Nella teoria economica, tuttavia, tale situazione è spessorappresentata come “Lungo Periodo”, un orizzonte temporale che trascende una singola generazione e nelquale è possibile immaginare che anche il nostro mercato del caffè sia in equilibrio.Esercizi proposti.Esercizio 1. Rappresentare il diagramma di fase del sistema dinamico, individuarne gliequilibri e rappresentare la stabilità dell’equilibrio rispetto alla soluzione con dato iniziale .Esercizio 2. Dato il sistema dinamico, trovare gli eventuali equilibri e dedurne lastabilità.Esercizio 3. In una provincia della Liguria la popolazione di cinghiali ha un tasso di natalità del 12%annuo, mentre la mortalità naturale dell’8%. Ogni anno 100 nuovi capi si introducono dalle zonelimitrofe. L’assessorato alle Politiche agricole intende autorizzare la caccia fino all’abbattimento diuna percentuale k dei cinghiali ogni anno. Calcolare il valore minimo di k affinché il sistema abbiaun equilibrio stabile.Esercizio 4. In un mercato la domanda è , mentre l’offerta .

ISTITUTO DI METODIQUANTITATIVIa. Determinare l’equilibrio statico del mercato.b. Verificare la stabilità dell’equilibrio.Esercizio 5. Dimostrare che nel modello di mercato concorrenziale, l’equilibrio statico è stabile se e solose

ISTITUTO DI METODIQUANTITATIVISistemi lineari di equazioni alle differenze.Finora abbiamo immaginato che il nostro modello potesse essere composto da un’unica equazione. Accadespesso, però, che una sola equazione non sia sufficiente a rappresentare la complessità di un sistema. Siricorre quindi a sistemi di equazioni, ovvero a gruppi di equazioni alle differenze che devono essere risoltisimultaneamente. Il seguente schema rappresenta un generico sistema di equazioni alle differenze delprimo ordine:Notiamo che ora le variabili di stato sono n e l’evoluzione di ognuna, potenzialmente, dipende dallo statoprecedente anche delle altre.Nella forma più semplice, tutte le leggi del moto sono lineari. In questo caso il sistema può essere scritto informa matriciale, utilizzando strumenti dell’algebra delle matrici. Innanzitutto definiamo il vettore di stato. Raccogliendo in una matrice tutti i coefficienti delle “x” nelle leggi del moto possiamo costruireuna matrice e, analogamente, un vettore dei termini noti . Il sistema diequazioni alle differenze diventa alloraMolto simile, almeno nella forma, ad una singola equazione alle differenze.Osservazione:Quando il vettoreè il vettore nullo, il sistema si dice omogeneo.Per questo tipo di sistema dinamico si pongo (con un maggiore grado di difficoltà) gli stessi problemiincontrati finora:1. Trovare le soluzioni per enumerazione;2. Trovare una soluzione in forma chiusa;3. Trovare eventuali equilibri;4. Studiare la stabilità degli equilibri.Non vogliamo approfondire questi problemi, quanto introdurre alcuni dei modelli che si studianonell’economia con dei sistemi dinamici lineari.

ISTITUTO DI METODIQUANTITATIVIAnalisi di mercato.Accade molto spesso che più concorrenti offrano un prodotto “omogeneo” alla propria clientela. Pensiamoad esempio ai servizi di telefonia mobile, ma anche al “prodotto” supermercato. In questi casi è quasifisiologico che vi siano delle “migrazioni” di clienti da una marca all’altra, variando, nel tempo, le quote dimercato tra i concorrenti.Esempio [I clienti di un supermercato]Un noto marchio di supermercati ha aperto un nuovo punto vendita in grado di servire le popolazioni diBusto Arsizio e Castellanza. Il numero di utenti è supposto costante e pari a 100. Sul territorio esiste unconcorrente e il mercato risulta equamente ripartito tra i due centri (50 al Supermercato X e 50 alSupermercato Y). Il Supermercato X intende lanciare una nuova campagna di marketing, grazie alla qualeritiene di poter fidelizzare l’80% dei propri clienti ed attrarre il 40% dei clienti del concorrente.Vogliamo rappresentare l’evoluzione della clientela. Indichiamo conpunti vendita al mese t. La sintetica descrizione del problema ci dice, innanzitutto, cheOsservazione:E’ importante notare che ogni mese, data l’ipotesi di costanza dei clienti.il numero dei clienti dei duePossiamo scrivere le equazioni che governano il moto dei clienti, notando che il numero dei clienti di Xdipende anche da quelli di Y. Per farlo premettiamo una semplice considerazione: se l’80% dei clienti di Xresta fedele al marchio, significa che il 20% passerà, inevitabilmente, a servirsi da Y. Analogamente, il 40%di clienti di Y che cambia supermercato, significa che il 60% resterà invece fedele. QuindiPossiamo anche scrivere la forma matriciale del problema:Osservazione:1. La matrice dei coefficienti è, solitamente, chiamata matrice di transizione.2. La somma dei coefficienti nelle colonne della matrice dei coefficienti è pari a 1. Perché? E’ un caso?A questo punto, l’operazione più semplice è enumerare le soluzioni del sistema dinamico. Come nel casounidimensionale, partiremo daAvremo

ISTITUTO DI METODIQUANTITATIVINon ci soffermiamo certo sulla costruzione di una soluzione in forma chiusa (che comunque sarebbepossibile). Ci interessiamo, piuttosto alla ricerca di un equilibrio. Infatti, i risultati dei primi due mesilasciano la curiosità se la campagna di marketing avviata abbia, in qualche modo, avviato la “fine” delSupermercato Y.Anche in questo caso, equilibrio significa assenza di evoluzione, ovvero:Dove cambia solo il fatto che le variabili sono ora dei vettori. L’equazione sarà:Come nel caso unidimensionale possiamo omettere l’indice t. L’equazione è ora da risolvere con le regoledell’algebra lineare. Avremo, quindiDove il membro di destra è un vettore nullo (con tutte le componenti uguali a zero). Nel caso specificoPer le regole dell’algebra matriciale, possiamo scrivereDove la seconda matrice è nota come matrice identità I.Il sistema ha infinite soluzioni del tipoOvvero, possiamo dare qualsiasi valore alla x e la y sarà metà di x. Cosa significa? E’ forse un errore? Inrealtà è una fortuna! Infatti una semplice soluzione del sistema precedente sarebbe stata x=y=0 ericordiamo l’insoddisfazione per tale tipo di equilibrio nel problema dei conigli. Ma ora i possibili equilibrisono troppi! Dimentichiamo tuttavia un vincolo che era presente nel nostro modello: il numero totale deiclienti. L’equilibrio è quello che garantisce x+y=100. QuindiCioè, con un po’ di approssimazione:questo equilibrio.. Omettiamo anche lo studio della stabilità di

ISTITUTO DI METODIQUANTITATIVIOsservazione:La richiesta che, nella matrice di transizione, la somma degli elementi di ogni colonna sia 1 garantiscel’esistenza di equilibri diversi da quello nullo. Potete immaginare perché?Previsioni elettorali.Immaginiamo una repubblica parlamentare perfettamente bipolare. Il partito X è al governo e quello Yall’opposizione. L’azione politica di entrambi determina, ovviamente, lo spostamento delle preferenze dauno schieramento all’altro. Il governo X opera in modo da garantire la fedeltà del 60% del proprioelettorato e convincere il 10% degli elettori di Y della bontà delle proprie idee. Le elezioni si svolgono ognilustro e gli elettori sono in numero costante (600). Alle ultime elezioni X ha ottenuto 600 voti. Il partito Yavrà mai la possibilità di governare?Per rispondere al quesito è necessario impostare il sistema dinamico che rappresenta la composizione deglielettori ad ogni tornata elettorale:Possiamo quindi immaginare l’evoluzione dei votanti e osservare che, già il mandato successivo saràappannaggio del partito Y con 600 voti e, supponendo nulla cambi nelle preferenze degli elettori, lasituazione per X non migliorerà nelle tornate successive.Esercizio:Calcolare l’equilibrio del sistema descritto.Esercizi proposti.Esercizio 1. Tre operatori concorrenti di telefonia mobile competono in un mercato del valorecomplessivo di 100 milioni di euro. Da analisi di mercato, si ottiene la matrice di transizione. Inizialmente le quote di mercato sono , espresse in milioni di euro difatturato.a. Quale percentuale, ogni anno passa dall’operatore 2 all’operatore 1?b. Calcolare le quote di mercato dopo 3 anni.c. Determinare, se esiste, l’equilibrio di mercato.Esercizio 2. [Un modello di parco-macchine] Una società di NCC (Noleggio con conducente) dispone di25 veicoli in servizio. E’ stato rilevato che ogni settimana il 5% della flotta in servizio deve esserefermata per riparazioni. Il 90% dei veicoli che si trovano in riparazione dovrà superare un collaudola settimana successiva prima di essere reintegrato nel servizio, il 5% richiede una ulterioresettimana in officina ed il restante 5% deve essere tolto dal servizio. Infine, dei veicoli in collaudodopo la manutenzione, il 95% è rimesso in servizio dopo una settimana ed il 5% deve essere reinviatoalla manutenzione. Ipotizzando che la società inizi la propria attività con tutti i veicoli inservizio,

ISTITUTO DI METODIQUANTITATIVIa. Scrivere le equazioni che governano l’evoluzione del sistema;b. Determinare il numero di veicoli in servizio dopo tre settimane;c. Calcolare un eventuale equilibrio del sistema;d. Supponendo che la società programmi l’acquisto di 2 nuovi veicoli ogni settimana, comeverranno modificate le equazioni del sistema? E la soluzione di equilibrio?Esercizio 3. In un mercato con due concorrenti la transizione dei clienti è governata dal sistemadinamicoa. Determinare le quote di mercato dopo tre periodi, nell’ipotesi che ;b. Calcolare l’eventuale equilibrio del sistema.Bibliografia:• W. Briggs, Ants, Bikes, & Clocks, Problem solvings for undergraduates, SIAM, Philadelphia, US, 2005.• G.I. Bischi, R. Carini, L. Gardini, P. Tenti, Sulle orme del caos, Comportamenti complessi in modellimatematici semplici, Bruno Mondadori, Milano, 2004.