Corso sperimentale di Matematica per l'Economia e la Finanza

ISTITUTO DI METODIQUANTITATIVIAppare abbastanza evidente che, partendo dalla condizione iniziale, l’evoluzione del sistema porterà versol’equilibrioAbbiamo finalmente trovato un equilibrio stabile, un attrattore. Provando con altri valoriiniziali, otterremo “percorsi” simili, tutti convergenti aEsercizio:. L’equilibrio è un attrattore globale.Ricavare la soluzione generale dell’esempio precedente e calcolare il .Esercizio:Costruire il diagramma di fase dell’esempio dei conigli e studiare la stabilità dell’equilibrio.Appoggiandoci allo studio del diagramma di fase, si intuisce che la stabilità dell’equilibrio è connessa allapendenza del grafico della legge del moto. Meglio, alla pendenza della legge del moto rispetto a quella dellabisettrice. Vale infatti il seguenteTeorema: Se è un equilibrio per il sistema dinamico e se allora è unattrattore (almeno) locale.Osservazione:Con sistemi lineari la valutazione è più semplice: basta considerare il coefficiente angolare!Equilibrio in un mercato concorrenziale.Equilibrio staticoUn mercato si dice in equilibrio quando la domanda uguaglia l’offerta del bene venduto. Per semplicitàassumiamo che nel mercato sia venduto un unico bene indifferenziato: Caffè.La variabile che influenza principalmente tanto la domanda quanto l’offerta è il prezzo del bene. Il prezzo diequilibrio è tale da garantire l’uguaglianza tra quantità domandata e quantità offerta. Normalmente,all’aumentare del prezzo diminuisce la domanda (funzione decrescente) ed aumenta l’offerta (funzionecrescente). La forma funzionale più semplice per le due funzioni è lineare affine:dove è la quantità (domandata o offerta), il prezzo e sono parametri. Ineconomia si definisce poi il concetto di domanda potenziale, ovvero la quantità di caffè che sarebbedomandata (e consumata) se il bene fosse gratuito ( ).Osservazione:• Il grafico delle due funzioni, dal punto di vista economico, esiste solo nel primo quadrante.• Tutti i valori dei parametri sono rilevabili empiricamente.La condizione di equilibrio statico, come detto, richiede